شبكة بحوث وتقارير ومعلومات

مرحبا بكم في شبكة بحوث وتقارير ومعلومات

اليوم السبت 25 مايو 2024 - 12:51 ص


اخر المشاهدات
الأكثر قراءة


عناصر الموضوع

غير مصنف

نموذج ديباي اشتقاقه # أخر تحديث اليوم 2024/05/24

اشتقاقه

يعتبر نموذج ديباي لحالة المواد الصلبة مناظرا لنموذج ماكس بلانك بشأن جسم أسود قانون إشعاع الجسم الأسود ، حيث تُعامل أشعة كهرومغناطيسية الأشعة الكهرومغناطيسية كما لو كانت غاز فوتونات في صندوق . ويتعامل نموذج ديباي مع اهتزازات الذرات في المادة الصلبة على أنها فونون ات في صندوق (الصندوق هو المادة الصلبة). ونجد أن معظم الحسابات في الحالتين متشابهة .

وكانت الطريقة التي اتبعها ديباي لاشتقاق القانون طريقة التبسيط وسهلة . فهو يعتبر المادة الصلبة عبارة عن وسط مستمر ، وو جد أن عدد حالات الاهتزاز بترددات أقل من حد معين تصل إلى حد ثابت طبقا للعلاقة

n sim 1 over 3
u^3 V F,,

حيث

V حجم المادة الصلبة (وتحتوي على عدد N من الذرات )،
F هي معامل قام بحسابة بالاستعانة مرونة بمعامل المرونة و الكثافة .

ثم قام بربط تلك العلاقة بالطاقة الناتجة من هزاز توافقي عند درجة حرارة T بحيث تؤدي إلى طاقة U مقدارها

U int_0^infty , h
u^3 V Fover e^ h
u/kT -1 , d
u,,

عندما تصل ترددات الاهتزازات إلى ترددات عالية جدا. تلك الصيغة تعطي الحرارة النوعية بدقة عند درجات الحرارة المنخفضة . ثم وجد ديباي أن تلك الطريقة سوف تؤدي إلى عدد من حالات الاهتزاز قدرها

3N لعدد N من الذرات . وافترض أن طيف الترددات في حالة المادة الصلبة سيتبع العلاقة السابقة حتى تصل إلى حد أعلى للتردد
u_m بحيث يكون عدد الحالات الكلي 3N

3N 1 over 3
u_m^3 V F ,.

وعرف ديباي أن هذا الافتراض لن يكون صحيحا (فالترددات العالية سوف تكون أكثر كثافة عما اخذه في الاعتبار ) ، ولكن عرف في نفس الوقت أن تلك المعادلة تكون صحيحة في درجات الحرارة العالية وتؤدي إلى قانون دولون-بتي . وبناء على ذلك تبلغ الطاقة المحسوبة

U int_0^
u_m , h
u^3 V Fover e^ h
u/kT -1 , d
u,,
V F kT (kT/h)^3 int_0^ T_D/T , x^3 over e^x-1 , dx,,
حيث T_D هي h
u_m/k.
9 N k T (T/T_D)^3 int_0^ T_D/T , x^3 over e^x-1 , dx,,
3 N k T D_3(T_D/T)^3,,

حيث D_3 هي دالة سميت فيما بعد دالة ديباي من الدرجة الثالثة.

تبين المعادلة الأخيرة اعتماد الحرارة النوعية لمادة صلبة على درجة الحرارة بالقوة T3 عند درجات حرارة منخفضة جدا ، ونستخدمها في تعيين تغير إنتروبيا الإنتروبي بدرجة الحرارة.

نتائج النموذج

prettytable float-right

+درجة ديباي لبعض المواد الصلبة

– hintergrundfarbe6

!

! Theta_mathrm D كلفن

الرصاص

95

الصوديوم

160

الذهب

165

الفضة

215

النحاس

345

ألمونيوم

428

خ±- الحديد

464

الكروم

610

الماس

1850

درجات الحرارة

يعطي النموذج قيما دقيقة للسعة الحرارية وتغيرها بتغير درجة الحرارة ، وبصفة خاصة في درجات الحرارة المنخفضة جدا ودرجات الحرارة العالية جدا.

فعند درجات الحرارة المنخفضة ، مثلا عندما تكون T ll Theta_mathrm D

( وتسمى Theta_mathrm D درجة ديباي )

  • يُعطى جزء السعة الحرارية الذي يُعزى إلى فونون الفونونات (الاهتزازات) بالعلاقة
  • C_mathrm v 12 pi^4 N k_mathrm B over 5 cdot T^3 over Theta_mathrm D ^3 ,

    حيث

    Theta_D frac hbaromega_D k_B

    درجة ديباي ، ويدخل فيها ثابتين

    ثابت بلانك ثابت بلانك المخفض hbar
    و ثابت بولتزمان k_mathrm B
    و omega_D وهي خاصية اهتزازية تعتمد على نوع المادة .

    وتتناسب درجة ديباي (درجة حرارة ديباي) تناسبا طرديا مع سرعة صوتية فعلية

    c_
    m eff ، تنشأ عن موجة صوتية عرضية بنسبة 2/3 و موجة صوتية طولية بنسبة 1/3 (داخل المادة الصلبة) ، طبقا للمعادلة

    frac 1 Theta_mathrm D ^3 proptofrac 1 c_
    m eff ^3 frac 1 3 (frac 2 c_t^3 +frac 1 c_l^3
    ight).
  • عند درجات الحرارة العالية ، عندما تكون Tgg Theta_D,
  • تنطبق معادلة طاقة داخلية الطاقة الداخلية التالية

    U 3 N k_mathrm B T

    بالتالي ينطبق على السعة الحرارية

    C_mathrm v 3Nk_mathrm B ,

    وفي تلك الحدود لدرجة الحرارة العالية نرى أن معادلة ديباي تتطابق مع قانون دولون-بتي ، وكذلك مع نموذج أينشتاين .

  • في حيز درجات الحرارة العالية وحيز درجات الحرارة المنخفضة تعطي معادلة ديباي القيمة الدقيقة للسعة الحرارية لمادة ، إلا أنها لا تعطي قيما دقيقة لها في درجات الحرارة المتوسطة ،أي أن معادلة ديباي تحتاج إلى اعتبار بعض المرثرات الأخرى . وانطباق معادلة ديباي عند درجات الحرارة المنخفضة يعود إلى الحد
  • omegallomega_D لتقريب ديباي الذي ينطبق على
    g(omega ) ، كذلك يكون المعادلة صحيحة في حيز درجات الحرارة المرتفعة حيث تعطي معادلة ديباي لمجموع ترددات الاهتزازات

    int_0^ omega_
    m max g(omega ),
    m d omega equiv 3N

    نموذج ديباي في الفيزياء و الكيمياء و ديناميكا حرارية الديناميكا الحرارية (بالإنجليزية Debye model ) هو نموذج أعده العالم الفيزيائي بيتر ديباي عام 1912 لحساب جزء حرارة نوعية الحرارة النوعية الناشئة عن فونون الفوتونات للمواد الصلبة.’Zur Theorie der spezifischen Waerme’, Annalen der Physik (Leipzig) 39(4), p. 789 (1912)

    والنموذج مبني على فكرة حساب اهتزازات الذرات في شبكة بلورية الشبكة البلورية (والتي هي جزء من الحرارة الداخلية) ومعاملتها جسيم في صندوق كفونونات في صندوق . هذا بعكس نموذج أينشتاين الذي يعتبر أن المادة الصلبة مكونة من ذرات منفردة لا تتآثر مع بعضها البعض ، وبالتالي لا تتأثر اهتزازاتها باهتزازات الذرات الأخرى.

    وينجح نموذج ديباي في حساب السعة الحرارية للمواد الصلبة زاعتمادها على درجة الحرارة عند درجات حرارة منخفضة جدا ، ووجدها تتغير تناسبيا مع T3 – وتسمى هذه العلاقة بقانون T3 لديباي Debye T3 law.

    يسري قانون ديباي للحرارة النوعية أيضا في درجات الحرارة العالية ، وهو في ذلك يتمشى مع نموذج أينشتاين و قانون دولونج و بيتيه. ولكنه لا يعطي نتائجا دقيقة في درجات الحرارة المتوسطة بسبب بساطة النموذج .

     
    التعليقات

    شاركنا رأيك



    أقسام شبكة بحوث وتقارير ومعلومات عملت لخدمة الزائر ليسهل عليه تصفح الموقع بسلاسة وأخذ المعلومات تصفح هذا الموضوع نموذج ديباي اشتقاقه ويمكنك مراسلتنا في حال الملاحظات او التعديل او الإضافة او طلب حذف الموضوع ...آخر تعديل اليوم 05/05/2024


    اعلانات العرب الآن