تم النشر اليوم 2024/05/29 | مجموعة قواعد في ميكانيكا الكم

استنتاج مجموعة من القواعد

نفرض أن هاميلتونيان
H
^ {displaystyle {hat {H}}} له مجموعة من القيم متعامدة
| n
⟩
{displaystyle |nrangle } مع القيم الذاتية
ϵ n
{displaystyle epsilon _{n}} :
H
^
| n
⟩
= ϵ n | n
⟩
.
{displaystyle {hat {H}}|nrangle =epsilon _{n}|nrangle .}
نحدد معكوس المؤثر الهرميتي
A
^ {displaystyle {hat {A}}} C
^
(
0
) ≡ A
^ C
^
(
1
) ≡
[ H
^ , A
^ ]
= H
^
A
^ − A
^
H
^ C
^
(
k
) ≡
[ H
^ ,
C
^
(
k
−
1
)
]
,

k
=
1
,
2
,
…
{displaystyle {begin{aligned}{hat {C}}^{(0)}&equiv {hat {A}}\{hat {C}}^{(1)}&equiv [{hat {H}},{hat {A}}]={hat {H}}{hat {A}}-{hat {A}}{hat {H}}\{hat {C}}^{(k)}&equiv [{hat {H}},{hat {C}}^{(k-1)}], k=1,2,ldots end{aligned}}}
نجد أن C
^
(
0
)
{displaystyle {hat {C}}^{(0)}} مؤثر هرميتي لأنه يساوي القيمة
A
^ {displaystyle {hat {A}}}
ولكن C
^
(
1
)
{displaystyle {hat {C}}^{(1)}} مؤثر غير هيرميتي (
C
^
(
1
)
)
†
=
( H
^
A
^
) †
−
( A
^
H
^
) †
= A
^
H
^ − H
^
A
^ =
−
C
^
(
1
)
.
{displaystyle left({hat {C}}^{(1)}right)^{dagger }=({hat {H}}{hat {A}})^{dagger }-({hat {A}}{hat {H}})^{dagger }={hat {A}}{hat {H}}-{hat {H}}{hat {A}}=-{hat {C}}^{(1)}.}
وبالاستقراء نجد (
C
^
(
k
)
)
†
=
(
−
1 ) k
C
^
(
k
)
{displaystyle left({hat {C}}^{(k)}right)^{dagger }=(-1)^{k}{hat {C}}^{(k)}}
أيضا ⟨
m | C
^
(
k
) | n
⟩
=
( E m
− E n ) k
⟨
m |
A
^
| n
⟩
.
{displaystyle langle m|{hat {C}}^{(k)}|nrangle =(E_{m}-E_{n})^{k}langle m|{hat {A}}|nrangle .} | ⟨
m |
A
^
| n
⟩
|
2
=
⟨
m |
A
^
| n
⟩
⟨
m |
A
^
| n ⟩ ∗
=
⟨
m |
A
^
| n
⟩
⟨
n |
A
^
| m
⟩
.
{displaystyle |langle m|{hat {A}}|nrangle |^{2}=langle m|{hat {A}}|nrangle langle m|{hat {A}}|nrangle ^{ast }=langle m|{hat {A}}|nrangle langle n|{hat {A}}|mrangle .}
وباستخدام هذه العلاقة ⟨
m | [ A
^ ,
C
^
(
k
)
] | m
⟩ =
⟨
m |
A
^ C
^
(
k
) | m
⟩
−
⟨
m | C
^
(
k
) A
^
| m
⟩
= ∑ n
⟨
m |
A
^
| n
⟩
⟨
n | C
^
(
k
) | m
⟩
−
⟨
m | C
^
(
k
) | n
⟩
⟨
n |
A
^
| m
⟩
= ∑ n
⟨
m |
A
^
| n
⟩
⟨
n |
A
^
| m
⟩
( E n
− E m ) k
−
( E m
− E n ) k
⟨
m |
A
^
| n
⟩
⟨
n |
A
^
| m
⟩
= ∑ n
(
1
−
(
−
1 ) k
)
( E n
− E m ) k | ⟨
m |
A
^
| n
⟩
|
2
.
{displaystyle {begin{aligned}langle m|[{hat {A}},{hat {C}}^{(k)}]|mrangle &=langle m|{hat {A}}{hat {C}}^{(k)}|mrangle -langle m|{hat {C}}^{(k)}{hat {A}}|mrangle \&=sum _{n}langle m|{hat {A}}|nrangle langle n|{hat {C}}^{(k)}|mrangle -langle m|{hat {C}}^{(k)}|nrangle langle n|{hat {A}}|mrangle \&=sum _{n}langle m|{hat {A}}|nrangle langle n|{hat {A}}|mrangle (E_{n}-E_{m})^{k}-(E_{m}-E_{n})^{k}langle m|{hat {A}}|nrangle langle n|{hat {A}}|mrangle \&=sum _{n}(1-(-1)^{k})(E_{n}-E_{m})^{k}|langle m|{hat {A}}|nrangle |^{2}.end{aligned}}}
يمكن كتابة النتيجة كالتالي: ⟨
m | [ A
^ ,
C
^
(
k
)
] | m
⟩
=
{ 0
,
if
k
is even
2 ∑ n
( E n
− E m ) k | ⟨
m |
A
^
| n
⟩
|
2
,
if
k
is odd
.
{displaystyle langle m|[{hat {A}},{hat {C}}^{(k)}]|mrangle ={begin{cases}0,&{mbox{if }}k{mbox{ is even}}\2sum _{n}(E_{n}-E_{m})^{k}|langle m|{hat {A}}|nrangle |^{2},&{mbox{if }}k{mbox{ is odd}}.end{cases}}}
وبوضع k
=
1
{displaystyle k=1} ⟨
m | [ A
^ ,
[ H
^ , A
^ ]
] | m
⟩
=
2 ∑ n
( E n
− E m
) | ⟨
m |
A
^
| n
⟩
|
2
.
{displaystyle langle m|[{hat {A}},[{hat {H}},{hat {A}}]]|mrangle =2sum _{n}(E_{n}-E_{m})|langle m|{hat {A}}|nrangle |^{2}.}

شرح مبسط

في ميكانيكا الكم قاعدة الجمع في ميكانيكا الكم (بالإنجليزي: Sum rule in quantum mechanics) تصف الانتقالات بين مستويات,كما تستخدم لوصف العديد من الخصائص للأنظمة الفيزيائية الصلبة والذرية,النووية,نواة الذرة.