نبذة تاريخية

في عام 1702 لاحظ بيرنولي أن

frac 1 1+x^2 frac 1 2 (frac 1 1-ix +frac 1 1+ix ight) .

وبما أن

int frac dx 1+ax frac 1 a ln(1+ax)+C ,

يتضح أن المعادلة الموضحة بأعلى تتعلق لوغاريتم باللوغاريتمات المركبة، لكن برنولي لم يقم بإجراء عملية التكامل، وتوحي الرسائل التي كانت بينه وبين أويلر (الذي كان على علم أيضًا بنفس معادلة المعادلة ) أنه لم يكن يفهم اللوغاريتمات على أكمل وجه. وقد اقترح أويلر أن اللوغاريتمات المركبة من الممكن أن يكون لها قيم عديدة لا متناهية. في غضون سنة 1714 اكتشف روجر كوتس أن

ln(cos x + isin x) ix

(حيث ln تعني لوغاريتم طبيعي اللوغاريتم الطبيعي ؛ أي اللوغاريتم الذي أساسه عدد نيبيري e )، مرجع كتاب المؤلف John Stillwell العنوان Math atics and Its History الناشر Springer سنة 2002 يُعلم الآن أن اللوغاريتم المركب له عدد لا نهائي من القيم؛ نظرًا للطبيعة الدورية للدوال المثلثية، لكن كوتس غفل عن هذه الحقيقة. أويلر (ربما نحو 1740) ولى انتباها إلى الدالة الأسية بدلاً من اللوغاريتمات، واستطاع الحصول على الصيغة الصحيحة المعروفة باسمه الآن، وقد نشرها في 1748، معتمدًا في إثباتها على متسلسلة (رياضيات) المتسلسلات اللامتناهية . لم يُقدَّر لكلا الرجلين أن يريا التمثيل الهندسي للصيغة، إذ أن تمثيل الأعداد المركبة كنقاط على مستوى عقدي المستوى المركب لم يظهر إلا بعد خمسين سنة بعد ذلك.

التطبيقات في نظرية الأعداد المركبة

يمكن تفسير الصيغة بالقول أن الدالة eix تمثل جميع النقاط الواقعة على دائرة وحدة دائرة الوحدة في مستوى عدد مركب الأعداد المركبة ، ذلك عندما يكون مدى x في نطاق عدد حقيقي الأعداد الحقيقية . حيث x هي ال زاوية المحصورة بين الخط الواصل من نقطة الأصل إلى أي نقطة على الدائرة وبين الاتجاه الموجب لمحور السينات، مقاسة في اتجاه عكس عقارب الساعة، وبالتقدير الدائري. الإثبات الأصلي الذي قدمه أويلر يعتمد على متسلسلة تايلور مفكوك تايلور للدالة الأسية ez (حيث z عدد مركب)، ودالة الجيب sin&nbsp x، وجيب التمام cos&nbsp x لأي عدد حقيقي x (سيتم تناول الإثبات أدناه)، في الحقيقة هذا الإثبات يبين أن صيغة أويلر صحيحة لكل عدد مركب &nbsp z. أي نقطة في المستوى المركب من الممكن أن تمثل بعدد مركب مكتوب في صورة إحداثيات ديكارتية، تقدم صيغة أويلر وسيلة للتحويل من هذه الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات القطبية، مما يقلل الحدين إلى حد واحد، وهذا بدوره يبسط عمليات ضرب أو قسمة الأعداد المركبة، كما يبسط رفعها لأي أس قوى . أي عدد مركب z x&nbsp +&nbsp iy من الممكن أن يكتب على الصورة

z x + iy z (cos phi + isin phi ) r e^ i phi

ar z x - iy z (cos phi - isin phi ) r e^ -i phi

حيث الجزء الحقيقي x mathrm Re z , الجزء التخيلي y mathrm Im z ,

r z sqrt x^2+y^2 مقياس z

phi arg z ,arctan(y/x) .

phi , تعني سعة العدد المركب z أي الزاوية بين الاتجاه الموجب لمحور السينات والمتجه z، مقاسة في اتجاه عكس عقارب الساعة وبالتقدير الدائري، هذه الزاوية لا يحدث لها تغير إذا أضيف إليها 2د€؛ ذلك أن الزاوية الناتجة ستكون مكافئة للزاوية الأصلية. عندما تكون x&nbsp ≤&nbsp 0 يجب تعديل phi , بحسب الربع الذي تقع فيه. من العلاقة السابقة يتبين أن صيغة أويلر من الممكن أن تستخدم في إيجاد لوغاريتم عدد مركب، مع الأخذ في الاعتبار أن اللوغاريتم هو عملية عكسية لعملية الرفع للأسس كالتالي

a e^ ln (a)

كما أن

e^a e^b e^ a + b

وكلاهما صحيحان لأي عددين مركبين a وb. وهكذا يمكن من كتابة ما يلي

z z e^ i phi e^ ln z e^ i phi e^ ln z + i phi

وبأخذ لوغاريتم الطرفين فإن

ln z ln z + i phi . لكل z&nbsp ≠&nbsp 0،

وهذه الصيغة من الممكن أن تستخدم باعتبارها تعريف لوغاريتم مركب اللوغاريتم المركب ، وهكذا فإن لوغاريتم عدد مركب هو دالة متعددة القيم ؛ نتيجة أن phi متعددة القيم. واخيرًا قانون الأس الذي ينص على أن

(e^a)^k e^ a k ,

والذي من الممكن أن تثبت صحته لكل عدد صحيح k، من الممكن أن يستخدم، إلى جانب صيغة أويلر، لتوليد عدة متطابقة مثلثية متطابقات مثلثية ، ذلك إلى جانب إثبات صيغة دي موافر صيغة ديموافر .

العلاقة بحساب المثلثات

تبين صيغة أويلر الاتصال القوي بين تحليل رياضي التحليل الرياضي و حساب المثلثات ، كما تقدم تفسيرًا لدالتي الجيب وجيب التمام في صورة مجموع مرجح مجاميع مرجحة للدالة الأسية.

cos x mathrm Re e^ ix e^ ix + e^ -ix over 2

sin x mathrm Im e^ ix e^ ix - e^ -ix over 2i .

المعادلتان أعلاه يمكن أن تُشتقا من جمع وطرح صيغتي أويلر التاليتين

e^ ix cos x + i sin x

e^ -ix cos(- x) + i sin(- x) cos x - i sin x

ويمكن لهاتين الصيغتين أن تُستخدما كتعريف للدوال المثلثية ذات السعة المركبة أو التخيلية. على سبيل المثال ، بوضع x iy في المعادلتين ينتج أن

cos(iy) e^ -y + e^ y over 2 cosh(y)

sin(iy) e^ -y - e^ y over 2i - 1 over i e^ y - e^ -y over 2 isinh(y) .

الأسس المركبة قد تساعد أيضًا في تبسيط حساب المثلثات؛ لأنها يسهل التعامل معها رياضيًا عن التعامل مع المركبات الجيبية، أحد الوسائل إلى ذلك ببساطة هو تحويل الدوال الجيبية (الجيب وجيب التمام) إلى تعبيرات أسية مكافئة لها، ثم إجراء العمليات الرياضية على هذه التعبيرات لوضعها في أبسط صورة ممكنة، هذه الصور المبسطة الناتجة تظل حقيقية القيمة، فمثلاً

egin cos xcdot cos y & frac (e^ ix +e^ -ix ) 2 cdot frac (e^ iy +e^ -iy ) 2 & frac 1 2 cdot frac e^ i(x+y) +e^ i(x-y) +e^ i(-x+y) +e^ i(-x-y) 2 & frac 1 2 [ underbrace frac e^ i(x+y) + e^ -i(x+y) 2 _ cos(x+y) + underbrace frac e^ i(x-y) + e^ -i(x-y) 2 _ cos(x-y) ight] . end هناك وسيلة أخرى لتبسيط الدوال الجيبية، وذلك عن طريق تمثيلها بدلالة الجزء الحقيقي من الدالة الأسية المركبة في صورة مناسبة، ثم إجراء العمليات الرياضية اللازمة لتبسيط هذا الصورة، وفي النهاية يُؤخذ الجزء الحقيقي منها ويُهمل الجزء التخيلي. مثلاً

egin cos(nx) & mathrm Re e^ inx mathrm Re e^ i(n-1)x cdot e^ ix & mathrm Re e^ i(n-1)x cdot (e^ ix + e^ -ix - e^ -ix ) & mathrm Re e^ i(n-1)x cdot underbrace (e^ ix + e^ -ix ) _ 2cos(x) - e^ i(n-2)x & cos[(n-1)x]cdot 2 cos(x) - cos[(n-2)x] . end

تطبيقات أخرى

تستخدم أحيانًا الدالة eix عند حل معادلة تفاضلية المعادلات التفاضلية لتبسيطها، وإن كان الحل الأخير دائمًا ما يكون في صورة دالة حقيقية تتضمن الجيب وجيب التمام. السبب للجوء إلى هذا الاستخدام هو كون الدالة الأسية دالة ذاتية eigenfunction في ال تفاضل . صيغة أويلر أيضًا تعتبر الأساس ل متطابقة أويلر ؛ إذ أن الأخيرة هي نتيجة مباشرة من الأولى. وفي هندسة كهربية الهندسة الكهربية ومجالات أخرى، فإن الإشارات التي تتغير تغيرًا دوريًا مع الزمن يعبر عنها بدلالة الجيب أو جيب التمام أو مجموعة مؤلفة منهما معًا (انظر تحليل فورييه )، ويكون من الملائم التعبير عنها بدلالة الجزء الحقيقي أو الجزء التخيلي من الدالة الأسية ذات الأس التخيلي (الدالة الأسية التخيلية أو المركبة)؛ وذلك بالاستعانة بصيغة أويلر. أيضًا تستخدم صيغة أويلر في تحليل طوري التحليل الطوري دائرة كهربية للدوائر الكهربية ، وذلك لتمثيل معاوقة مكثف أو مستحث ملف حث .

تعريفات الدالة الأسية المركبة

مفصلة أس دالة أسية الدالة الأسية ex لأي قيمة حقيقية x من الممكن التعبير عنها بصور ليست كثيرة مكافئة لها (انظر خصائص الدالة الأسية )، والعديد من هذه الصور من الممكن أن تستغل في الحصول على تعريفات للدالة ez للقيم المركبة z، وذلك عن طريق استبدال x بالعدد المركب z، ثم إجراء العمليات الجبرية الممكنة في الأعداد المركبة، التعريفان المكافئان التاليان، على وجه الخصوص، من الممكن أن يستخدم أحدهما لتعريف الدالة الأسية المركبة.

باستخدام متسلسلة القوى

لكل عدد مركب z

e^z 1 + frac z 1! + frac z^2 2! + frac z^3 3! + cdots sum_ n 0 ^ infty frac z^n n! ~.

باستخدام اختبار النسبة من الممكن توضيح أن متسلسلة القوى هذه لها نصف قطر تقارب لا متناه، ومن ثم فإنها تعرِّف الدالة ez لكل الأعداد المركبة z.

باستخدام النهايات

لكل عدد مركب z

e^z lim_ n ightarrow infty (1+frac z n ight)^n ~.

البراهين

من الممكن برهنة الصيغة بعدة طرق.

باستخدام متسلسلة القوى

فيما يلي برهان صيغة أويلر باستخدام مفكوك متسلسلة القوى بالإضافة إلى حقائق أساسية عن رفع الوحدة التخيلية i لأي أس A Modern Introduction to Differential Equations, by Henry J. Ricardo, p428

egin

i^0 & 1, quad & i^1 & i, quad & i^2 & -1, quad & i^3 & -i, i^4 & 1, quad & i^5 & i, quad & i^6 & -1, quad & i^7 & -i, end وهكذا... وباستخدام متسلسلة القوى المذكورة أعلاه، نجد أنه لأي قيمة حقيقية x

egin

e^ ix & 1 + ix + frac (ix)^2 2! + frac (ix)^3 3! + frac (ix)^4 4! + frac (ix)^5 5! + frac (ix)^6 6! + frac (ix)^7 7! + frac (ix)^8 8! + cdots [8pt] & 1 + ix - frac x^2 2! - frac ix^3 3! + frac x^4 4! + frac ix^5 5! - frac x^6 6! - frac ix^7 7! + frac x^8 8! + cdots [8pt] & ( 1 - frac x^2 2! + frac x^4 4! - frac x^6 6! + frac x^8 8! - cdots ight) + i ( x - frac x^3 3! + frac x^5 5! - frac x^7 7! + cdots ight) [8pt] & cos x + isin x . end في الخطوة الأخيرة استُعوِض بمتسلسلتي تايلور لدالتي الجيب وجيب التمام بقيمتهما (sin(x و (cos(x، ويلاحظ أن إعادة ترتيب الحدود مبرر لأن كل متسلسلة تتقارب تقاربًا مطلقًا.

باستخدام حساب التفاضل والتكامل

باعتبار i ثابتًا، وليكن ثابتًا تخيليًا، لاحظ أن

frac d dx e^ ix i e^ ix .

وبافتراض أن

f(x) (cos x - i sin x) cdot e^ ix .

إذن باستخدام قاعدة الضرب يمكن إيجاد مشتقة (ƒ(x كالتالي

egin

frac d dx f(x) & (cos x - isin x)cdotfrac d dx e^ ix + frac d dx (cos x - isin x)cdot e^ ix & (cos x - isin x)(i e^ ix ) + (-sin x - icos x)cdot e^ ix & (icos x + sin x - sin x - icos x)cdot e^ ix & 0 . end بما أن مشتقة (ƒ(x تساوي صفرًا فلابد أن تكون (ƒ(x دالة ثابتة في x؛ أي أن قيمة الدالة لا تتغير عند جميع قيم x، ولما كانت ƒ(0) 1 (وذلك بالتعويض عن x 0 في الدالة الأصلية) تكون ƒ(x) 1، ومن ثم فإن.

1 (cos x - i sin x) cdot e^ ix .

بضرب الطرفين في (cos x&nbsp +&nbsp i&nbsp sin&nbsp x)، نحصل على

egin cos x + i sin x & (cos x + i sin x)(cos x - i sin x) cdot e^ ix & (cos^2 x -(i sin x)^2) cdot e^ ix (cos^2 x + sin^2 x) cdot e^ ix e^ ix . end

باستخدام المعادلات التفاضلية

نفترض أن (ƒ(x دالة في المتغير الحقيقيx بحيث

f(x) cos x + i sin x .

بإجراء عملية التفاضل للطرفين بالنسبة إلى x

egin frac d dx f(x) & -sin x + i cos x & i f(x) . end وهكذا يتضح أن (ƒ(x وeix يحققان نفس معادلة تفاضلية عادية المعادلة التفاضلية العادية من الرتبة الأولى. معلومات نظرية الاسم صورة تعليق النوع تاريخ الصيغة جزء من سميت بأسم صاحبها صيغة أويلر تعرف بهذا الاسم نسبة إلى الرياضياتي ليونهارد أويلر ليونارد أويلر ، وهي صيغة رياضية في تحليل مركب التحليل المركب تحدد العلاقة الوثيقة بين دالة مثلثية الدوال المثلثية و دالة أسية الدالة الأسية عدد مركب المركبة . تنص صيغة أويلر على أنه لأي عدد حقيقي x e^ ix cos x + i sin x حيث e هو عدد نيبيري أساس اللوغاريتم الطبيعي و i هو وحدة تخيلية الوحدة التخيلية و sin و cos هما دالتا ال جيب و جيب التمام على التوالي، و x عدد مركب سعة العدد المركب تقدير دائري بالتقدير الدائري ، أحيانًا يشار إلى الدالة الأسية المركبة بالصورة (cis(x، هذه الصيغة صحيحة أيضًا إذا كان x عدد مركب عددًا مركبًا ؛ ولذا فإن بعض الكتاب لا يزالون يشيرون إلى الصورة الأكثر تعميمًا بصيغة أويلر. مرجع كتاب الأول Martin A. الأخير Moskowitz العنوان A Course in Complex Analysis in One Variable الناشر World Scientific Publishing Co. سنة 2002 الرقم المعياري 981-02-4780-X الصفحات 7 ومن الجدير بالذكر أن ريتشارد فاينمان قد نعت صيغة أويلر قائلاً عنها جوهرتنا و واحدة من أبرز الصيغ وأكثرها إدهاشًا في كل الرياضيات . مرجع كتاب الأول Richard P. الأخير Feynman العنوان The Feynman Lectures on Physics, vol. I الناشر Addison-Wesley سنة 1977 الرقم المعياري 0-201-0 -6 الصفحات 22-1, 22-10 أ (ثابت رياضي)