تفاضل المتجه

يمكن تشبيه التكامل الخطي في تفاضل المتجه كمقياس للتأثير الكلي مجال لمجال معطى على طول المنحنى.

التكامل الخطي لمجال قياسي

يمكن تفسير التكامل الخطي على مجال قياسي بأنه المساحة تحت المجال المنحوتة بمنحنى معين. تخيل السطح المنشأ بـz f(x,y) والمنحنى C في المستوى x-y. يكون التكامل الخطي لـf هو المساحة الناتجة من نقش هذه النقاط على السطح C مباشرة.

تعريف

إذا كان لدينا مجال قياسي f U âٹ† Rn → R, يعرف التكامل الخطي على منحنى C âٹ‚ U is على أنه

int_C f, ds int_a^b f(mathbf r (t)) mathbf r '(t) , dt.

حيث r [a, b] → C تقابل بارامتر ي للمنحنى C بحيث أن r(a) وr(b) يعطي النقاط الطرفية لـC.

الاشتقاق

باستخدام التعاريف السابقة لـf, C وصورتها البارامترية r(t) يمكن إنشاء التكامل من مجموع ريمان وذلك بتقسيم الفترة [a,b] إلى n فترة طولها خ”t (b − a)/n. وبجعل tiالنقطة الـi على [a,b], بالتالي r(ti) تعطينا موقع النقطة i على المنحنى. ونكون قد قربنا المنحنى C ب مسار مضلع .

I lim_ Delta t ightarrow 0 sum_ i 1 ^n f(mathbf r (t_i))Delta s_i

وبما أن المسافة بين كل نقطتين متجاورتين هي

Delta s_i mathbf r (t_i+Delta t)-mathbf r (t_i) mathbf r '(t_i) Delta t

وبتعويضها في مجموع ريمان

I lim_ Delta t ightarrow 0 sum_ i 1 ^n f(mathbf r (t_i)) mathbf r '(t_i) Delta t

وهذا هو مجموع ريمان للتكامل

I int_a^b f(mathbf r (t)) mathbf r '(t) , dt.

التكامل الخطي لمجال متجه

تعريف

بالنسبة لـ مجال متجه F U âٹ† Rn → Rn, يعرف التكامل الخطي على منحنى C âٹ‚ U, في اتجاه r, كمايلي

int_C mathbf F (mathbf r )cdot,dmathbf r int_a^b mathbf F (mathbf r (t))cdotmathbf r '(t),dt.

حيث · هو الضرب القياسي r [a, b] → C صورة التقابل البارامترية للمنحنى C بحيث r(a) وr(b) تعطي النقاط ال C. أي أن التكامل الخطي لمجال قياسي ماهو الا تكامل خطي لمجال متجه تكون المتجهات فيه دائما مماسية على الخط.

الاشتقاق

Line-Integral 300 المسار المنحنى لجسيم على منحنى داخل مجال متجه متجهات المجال في الأسفل المشاهدة من قبل الجسيم عندما تتحرك على طول المنحنى. اجمالي الضرب القياسي لهذه المتجهات مع مماس المتجه للمنحنى عند كل نقطة من المسار المنحني سينتج عنه التكامل الخطي. بنفس الطريقة والتعاريف السابقة, ولكن بدلا من حساب المسافات بين النقاط, سيتم احتساب إزاحة إزاحات متجهاتها, خ”si. وبحساب F عند جميع النقاط كما سبق وبأخذ الضرب القياسي مع كل ازاحة نحصل على نصيب كل جزء من F على C. بي

I lim_ Delta t ightarrow 0 sum_ i 1 ^n mathbf F (mathbf r (t_i)) cdot Deltamathbf s _i

نلاحظ أن متجه الازاحة بين كل نقطتين متتابعتين على المنحنى هو

Deltamathbf s _i mathbf r (t_i+Delta t)-mathbf r (t_i) mathbf r '(t_i)Delta t

وبتعويض ذلك في مجموع ريمان نحصل على

I lim_ Delta t ightarrow 0 sum_ i 1 ^n mathbf F (mathbf r (t_i)) cdot mathbf r '(t_i)Delta t

وهي كذلك مجموع ريمان للتكامل المعرف انفا.

استقلالية المسار

اذا كان المجال F هو تدرج لمجال قياسي G, أي,

abla G mathbf F ,

فإن اشتقاق الاشتقاق دالة مركبة للدالة المركبة من G و(r(t هو

frac dG(mathbf r (t)) dt abla G(mathbf r (t)) cdot mathbf r '(t) mathbf F (mathbf r (t)) cdot mathbf r '(t)

والذي يكون معامل التكامل للتكامل F على (r(t. وعليه إذا علم المسار C , فإن

int_C mathbf F (mathbf r )cdot,dmathbf r int_a^b mathbf F (mathbf r (t))cdotmathbf r '(t),dt int_a^b frac dG(mathbf r (t)) dt ,dt G(mathbf r (b)) - G(mathbf r (a)).

وبتعبير اخر, تكامل F على C يعتمد فقط على قيم G في النقاط (r(b و(r(a وهو بالتالي فهو مستقل عن المسار بينها.

التطبيقات

تطبيقات التكامل الخطي تشمل شغل الشغل في المجالات الميكانيكية, الكهرومغناطيسية وميكانيكاالكم.

التكامل الخطي المركب

افرض ان U زمرة مفتوحة ل عدد مركب C, خ³ [a, b] → U هي منحنى ممكن التوحيد وf U → C' هي دالة. فإن التكامل

int_gamma f(z),dz

يمكن تعريفه على الفتري [a, b] إلى a t0 < t1 تفاضل تكامل في رياضيات الرياضيات ، التكامل الخطي إنك Line integral يدعى أحيانا بتكامل المسار أو تكامل المنحنى، هو تكامل يتم فيه حساب تكامل دالة (رياضيات) الدالة على منحنى . ينبغي عدم الخلط بين هذا التكامل وحساب طول قوس بالتكامل. هناك العديد من التكاملات الخطية كما أن هناك حالة خاصة من التكامل على مسار مغلق في بعدين أو المستوى العقدي هي تكامل الكفاف . يمكن أن تكون الدالة المكاملة حقل قياسي أو حقل متجهي . قيمة التكامل الخطي عبارة عن مجموع قيم المجال عند جميع النقاط على المنحنى, يتم توزينها بدالة قياسية معينة على المنحنى (طول القوس عادة، أو بالنسبة لمجال متجه, الضرب القياسي للمجال المتجه مع متجه تفاضلي في المنحنى). هذا التوزين يميز التكامل الخطي عن التكاملات البسيطة المعرفة على فترة (رياضيات) فترات . العديد من الصيغ البسيطة في الفيزياء، (على سبيل المثال لحساب شغل الشغل الميكانيكي, W mathbf F cdotmathbf s ) لها تماثليات طبيعية متصلة بدلالة التكاملات الخطية (W int_C mathbf F cdot d mathbf s ). يستطيع التكامل الخطي ايجاد الشغل الميكانيكي المبذول على جسم متحرك في مجال كهربي أو جاذبية مثلا.