الأرقام البابلية

مفصلة الأرقام البابلية كان نظام العد في الرياضيات البابلية نظام عد نظام عد ستيني ستيني . ومن هذا النظام أخذنا اليوم استعمال 60 ثانية للدقيقة، و60 دقيقة للساعة، و360 (6×60) درجة في الدائرة. وقد حقق البابليون تقدما عظيما في الرياضيات لسببين. أولا، العدد 60 هو عدد مركب للغاية، ولديه المقسومات 1، 2، 3، 4، 5، 6، 10، 12، 15، 20، 30 و 60، التي تيسر عملية التعامل مع الكسور. بالإضافة إلى ذلك، على عكس المصريين والرومان، فلقد كان لدى الهنود والبابليون شكل حقيقية لأنظمة العد الموضعية، حيث أن الأرقام على اليسار تمثل أكبر قيمة (مشابه للنظام العشري المستعمل حاليا 734 7×100 + 3×10 + 4×1). وقد كان السومريون والبابليون الرواد في هذا الصدد.

الرياضيات السومرية (3000 — 2300 ق.م)

طور سومر السومريون القدماء في بلاد الرافدين نظام معقد علم القياس للقياس منذ 3000 قبل الميلاد. ابتداءً من 2600 قبل الميلاد، كتب السومريون جدول الضرب على الألواح الطينية وتعاملوا مع تمارين هندسة رياضية الهندسة ومسائل قسمة القسمة ، وأقرب أثر لبداية الأرقام البابلية ترجع أيضا لنفس التاريخ.Duncan J. Melville (2003). Third Millennium Chronology], Third Millennium Math atics. St. Lawrence University].

الرياضيات البابلية (2000–1600 ق.م)

الفترة السلالة البابلية الأولى البابلية القديمة هي الفترة التي ترجع إليها معظم الألواح الطينية في حقل الرياضيات في بابل ، ولهذا تُعرف الرياضيات في بلاد الرافدين بالرياضيات البابلية. بعض هذه الألواح تحتوي على قوائم وجداول رياضية، وبعضها يحتوي على مسائل وحلول مفصلة.

علم الحساب

قام البابليون باستعمال واسع لجداول عد قبل-حسابية لمساعدتهم في علوم الحساب. على سبيل المثال، وجد لوحان في لارسا تل السنكرة على الفرات في عام 1854، يرجع تاريخهما إلى 2000 ق.م، يوجد بهما قائمة بالأعداد عدد مربع المربعة متدرجة إلى الرقم 59 و مكعب العدد تكعيب الأرقام تدريجيا إلى الرقم 32. وقد استعمل البابليون قوائمة الأعداد المربعة مع هذه الصيغ

ab frac (a + b)^2 - a^2 - b^2 2

ab frac (a + b)^2 - (a - b)^2 4

وذلك لتسهيل الضرب. ولم يكن لدى البابليون خوارزميات لحساب القسمة المطولة. بدل ذلك قاموا بوضع طرق تتناسب مع علمهم على الحقيقة

frac a b a imes frac 1 b

وبجانب جدول مقلوب عدد الأعداد المقلوبة ، والأعداد الوحيد التي تشكل عوامل أولية هي فقط 2 و3 أو 5 لديها عدد محدود من مقلوب عدد مقلوبات الأعداد في النظام الستيني المدون آنذاك، وبهذا تم إنشاء جدول الأعداد المقلوبة. المعكوسات مثل 1/7 و1/11 و1/13 وغيرها، لا يوجد لديها تمثيلا محدودا في النظام الستيني. لحساب الرقم 1/13 أو أي عدد مقسوم على 13 كان البابليون يستخدمون التقريب

frac 1 13 frac 7 91 7 imes frac 1 91 approx 7 imes frac 1 90 7 imes frac 40 3600 .

الجبر

طور البابليون صيغ جبر ابتدائي جبرية لحل معادلة رياضية المعادلات الرياضيات ، وقد كانت، أيضاً، مبنية على الجداول قبل-الحسابية. مثلها مثل مجال العلوم الحسابية. لحل معادلة تربيعية المعادلات التربيعية ، استخدم البابليون الصيغة القياسية للمعادلات التربيعية. ودرسوا هذه الصيغة للمعادلات التربيعية

x^2 + bx c

حيث كل من b وc لم تَكونا بالضرورة أعداداً صحيحة، لكن كانت c دائما موجبة. وقد علموا الحل لصيغة للمعادلات التربيعية هذه وهو كالآتي

x - frac b 2 + sqrt (frac b 2 ight)^2 + c

وممن الممكن أنهم قد استخدموا جداول التربيع بشكل عكسي لإيجاد الجذور التربيعية. ودائما ما استخدم البابليون الجذر الموجب لأن استخدامه كان منطقيا في حل المسائل الحقيقة (حيث أن جذر المقدار السالب عدد مركب تخيلي وليس حقيقياً). هذا النوع من المسائل يتضمن أبعاد المستطيل مساحته ومقداره معطى عن طريق مقدار الطول الذي يتجاوز العرض. جدول قيم n3&nbsp +&nbsp n2 استخدم لحل أنواع محددة من دالة تكعيبية الدوال التكعيبية . مثلا، حل المعادلة

ax^3 + bx^2 c.

بضرب المقدار في a2 وبقسمته على b3 يعطينا

(frac ax b ight)^3 + (frac ax b ight)^2 frac ca^2 b^3 .

باستبدال y ax/b يعطينا

y^3 + y^2 frac ca^2 b^3

وبعد هذه العملية يمكن للمسألة أن تحل بجرد إيجاد قيم n3&nbsp +&nbsp n2 على جدول القيم بحيث تكون القيم الموجودة على الجدول هي الأقرب للجانب الأيمن. وقد حقق البابليون ذلك بدون اللجوء إلى التدوين الجبري، وهذا يشير إلى الفهم العميق لمثل هذه العمليات. وعلى الرغم من ذلك، لم يكن لديهم أي حل دالة تكعيبية للصيغة التكعيبية العامة .

النمو

شكّل البابليون ما يعرف اليوم باسم النمو الأسي، والنمو التقييدي، ومضاعفات الزمن. والأخير استعمل في الفوائد العائدة من الديون. ألواح طينية يرجع تاريخها إلى حوالي 2000ق.م تضمنت المسألة مقدار الفائدة معطىً وهو 1/60 لكل شهر، أحسب مضاعفات الزمن. هذه الغلة هي مقدار الفائدة السنوية لـ12/60 20 ، ومن هنا تضاعف مرة إلى نمو 100 ويجزأ النمو إلى 20 لكل سنة 5 سنين.Why the “Miracle of Compound Interest” leads to Financial Crises], by Michael Hudson[http //plus.maths.org/issue11/features/compound/ Have we caught your interest? by John H. Webb

بليمبتن 322

اللوح المعروف باسم بليمبتن 322 يوضح طريقة لحل ما يعرف اليوم باسم معادلة تربيعية معادلة من الدرجة الثانية من النموذج،

x- frac1x c,

بالخطوات (الموصوفة بالشروط الهندسية) التي تحسب سلسلة من القيم المتوسطة v1 c/2, v2 v12, v3 1 + v2, and v4 v31/2, من التي يمكن للمرء حسابها هكذا x v4 + v1 و 1/x v4 - v1. ويذكر في بحث روبسون، الذي قامت بنشره الجمعية الرياضية الأمريكي الجمعية الرياضية الأمريكية عام (2001-2002)، بأن بليمبتن 322 يمكن أن تفسر بالقيم التالية، وهي قيم الأعداد العادية x و1/x' في ترتيب عددي

v3 في العمود الأول,

v1 (x - 1/x)/2 في العمود الثاني

v4 (x + 1/x)/2 في العمود الثالث.

في هذا التفسير، كانت x و1/x لتظهرا في الجزء المكسور في يسار العمود الأول للوح. كاقتراح لهذا الحل، يمكن أن تكون قيمة x في الصف 11 للوح هي x 2. وقد أشار روبسون بأن ألّوح بليمبتون 322 يكشف عن صيغ-— حدسية التوأمين الأولية أزواح مقلوب عدد مقلوبات الأعداد ، إكمال المربع ، التقسيم عن طريق مسألة التفكيك إلى جداء عوامل أولية العوامل الأولية لل رقم العادي -— وقد كانت جميعها تقنيات سهلة كانت تدرس في مدارس الكُتّاب في تلك الفترة الزمنية.Robson (2002), in American Math atical Monthly, pp. 117-118.

الهندسة

من الممكن أن يكون الباليون قد علموا بالقواعد العامة لقياس المساحة والحجم. لقد قاموا بحساب محيط الدائرة كثلاثة أضعاف القطر والحجم كواحد على إثني عشر من مربع المحيط، وهو ما قد يكون صحيحاً في ط (رياضيات) د€ إذا قدرت بالعدد 3. وقد حسبوا حجم الأسطوانة كناتج من الحجم في الارتفاع، وعلى كل، فإن حجم كل من المخروط الناقص والهرم المربع الناقص لم تؤخذ بشكل صحيح كناتج الارتفاع ونصف مجمع القواعد. وقد عرف البابليون مبرهنة فيثاغورس . أيضا، هناك اكتشاف يثبت أن البابليون عن لوح استُعمل فيه الرقم د€ على هيئة 3 أو على هيئة 1/8. ويعرف البابليون باكتشافهم ميل الميل البابلي، وهي وحدة قياس مسافة تعادل سبعة أميال اليوم. وحدات قياس المسافات استعملت في قياس حركة الشمس، وذلك بتحويلها الميل إلى ميل زمني، وبالتالي يمثل بها الوقت.Eves, Chapter 2. علم البابليون القدماء نظريات النسب للمثلثات متساوية الساقين لقرون عدة، لكن افتقروا لمفهوم قياس الزوايا وهكذا، قاموا بدراسة أضلاع المثلث بدلا عن ذلك. مرجع كتاب الأخير Boyer وصلة المؤلف Carl Benjamin Boyer العنوان سنة 1991 chapter Greek Trigonometry and Mensuration الصفحات 158–159 أبقى علم الفلك البابلي علماء الفلك البابليون تسجيلات مفصلة عن ظهور واختفاء نجم النجوم ، والكسوف والخسوف الشمسي والقمري، وكل هذا يتطلب إلماما بالمسافات الزاوية التي تقاس على كرة سماوية الكرة السماوية . citation Trigonometric Delights first Eli last Maor year 1998 publisher Princeton University Press isbn 0691095418 page 20 وقد استعمل البابليون نوعا من تحويل فورييه لحساب التقويم الفلكي (جدول الأوضاع الفلكية)، والذي تم اكتشافه عام 1950م على يد أوتو نوغبور . citation The evolution of applied harmonic analysis models of the real world first Elena last Prestini url http //books.google.com/books?id fye--TBu4T0C publisher Birkhأ¤user year 2004 isbn 978 0 81764125 2 , p. 62 citation url http //books.google.com/books?id H5smrEExNFUC Indiscrete thoughts first1 Gian-Carlo last1 Rota first2 Fabrizio last2 Palombi authorlink Gian-Carlo Rota publisher Birkhأ¤user year 1997 isbn 978 0 81763866 5 , p. 11 مرجع كتاب الإصدار 2 الناشر Dover Publications الأخير Neugebauer الأول Otto author-link Otto E. Neugebauer العنوان The Exact Sciences in Antiquity origyear 1957 سنة 1969 الرقم المعياري 978-048622332-2 مسار http //books.google.com/books?id JVhTtVA2zr8C citation url http //arxiv.org/abs/physics/0310126 Analyzing shell structure from Babylonian and modern times first1 Lis last1 Brack-Bernsen first2 Matthias last2 Brack Ybc7289-bw 250 لوح طيني بابلي YBC 7289 مع شروحه. يوضح القطر قيمة تقريبية لل الجذر التربيعي للعدد إثنين جذر التربيعي للعدد إثنين في أربعة أرقام نظام عد ستيني ستينية , والذي يتكون من ستة أرقام نظام عد عشري عشرية . 1 + 24/60 + 51/602 + 10/603 1.41421296... الرياضيات البابلية (وتعرف أيضا بالرياضيات الآشور-بابلية Lewy, H. (1949). 'Studies in Assyro-Babylonian math atics and metrology'. Orientalia (NS) 18, 40–67 137–170.Lewy, H. (1951). 'Studies in Assyro-Babylonian math atics and metrology'. Orientalia (NS) 20, 1–12.Bruins, E.M. (1953). 'La ification des nombres dans les mathématiques babyloniennes. Revue d'Assyriologie 47, 185–188.Cazalas, (1932). 'Le calcul de la table mathématique AO 6456'. Revue d'Assyriologie 29, 183–188.Langdon, S. (1918). 'Assyriological notes Math atical observations on the Scheil-Esagila tablet'. Revue d'Assyriologie 15, 110–112.Robson, E. (2002). 'Guaranteed genuine originals The Plimpton Collection and the early history of math atical Assyriology'. In Mining the archives Festschrift for Chrisopher Walker on the occasion of his 60th birthday (ed. C. Wunsch). ISLET, Dresden, 245–292.) مصطلح يشير إلى رياضيات سكان بلاد الرافدين ، من بداية ظهور سومر السومريون حتى سقوط بابل عام 539ق.م.والحصيلة الرياضياتية البابلية وفيرة ومحررة بشكل جيد.Aaboe, Asger. The culture of Babylonia Babylonian math atics, astrology, and astronomy. The Assyrian and Babylonian Empires and other States of the Near East, from the Eighth to the Sixth Centuries B.C. Eds. John Boardman, I. E. S. Edwards, N. G. L. Hammond, E. Sollberger and C. B. F. Walker. Cambridge University Press, (1991) أما فيما يتعلق بالفترة الزمنية فيمكن تقسيمها إلى قِسمين الأولى هي في أيام حكم السلالة البابلية الأولى (1830-1531 ق.م)، أما الأخرى فهي في أيام حكم سلوقيون السلوقيين في القرن الثالث أو الرابع قبل الميلاد. أما المحتوى بالكاد يوجد به أي اختلاف في نصوص المجموعتين السابقتين. وهكذا ظلت الرياضيات البابلية ثابتة، في الشكل والمضمون، ما يقارب ألفيتين من الزمان. وعلى عكس قلة المصادر الحساب عند قدماء المصريين الرياضيات المصرية ، فإن معرفتنا بالرياضيات حضارة بابلية البابلية أتت من ألواح طينية اكتشف منها حتى الآن 400 لوح منذ 1850م. وقد كُتبت كتابة مسمارية بالكتابة المسمارية ، وتم تدوينها على الألواح الطينية بينما كانت رطبة، ثم تم تحميصها بشدة في فرن أو بحرارة الشمس. معظم الألواح التي تم ترميمها يحدد تاريخها من 1600ق.م إلى 1800ق.م، وغطت مواضيع تتناول كسر الكسور و جبر الجبر و معادلة تربيعية المعادلات التربيعية و دالة تكعيبية الدوال التكعيبية و مبرهنة فيثاغورث . واللوح البابلي YBC 7289 خير مثال للرياضيات في بابل؛ حيث يعطي قيمة مقربة لـsqrt 2 تقترب لخمس منازل عشرية.