قياس ثابت التحلل

متوسط العمر

إذا كانت الكمية المتحللة مكونة من عدد من الذرات ، فيمكن حساب متوسط الزمن الذي تبقى فيه الذرة على حالها بدون تحلل. وتسمي متوسط الزمن هذا متوسط العمر au . والعلاقة بين متوسط العمر ومعدل التحلل هي

au frac 1 lambda .

ويسمى متوسط العمر au أيضا ثابت زمني للاضمحلال ، وهو أحد مكونات أس الثابت الطبيعي e

N(t) N_0 e^ -t/ au . ,

وهو يعطي الزمن الذي يضمحل أو يتحلل فيه النظام بنسبة الثابت الطبيعي e . كما يمكن كتابة معادلة التحلل في صورة أخرى تستعمل كثيرا - كما يرى أسفله - وهي تعطي الحل في حالة اختيار أساس لأس مساويا 2 بدلا عن e. وذلك الحل يمثل حالة تساوي زمن الاضمحلال بزمن نصف العمر . (ملحوظة 1 أس الثابت الطبيعي يكون دائما عددا مطلقا (لا وحدات له) ، فنجد فيه au ووحدتها ثانية مثلا و t ووحدتها ثانية أيضا ، فيكون الكسر au /tعددا مطلقا.) (ملحوظة 2 الأس له إشارة سالبة ، مما يعنى أن الدالة في تناقص (اضمحلال). وفي بعض الحالات تكون إشارة الأس موجبة ، وبالتالي تصبح قيمة الدالة في تزايد. تلك حالة تكوّن نجم من سحابة غبار كوني حيث يجمع مادة من حوله وتتزايد كتلة كتلته طبقا لدالة أسية موجبة الأس ، حتي يبدأ فيه تفاعل نووي التفاعل النووي ويصبح نجما مضيئا.)

عمر النصف

مفصلة عمر النصف من الخواص التسهيلية للتحلل الإسي للأساس e حساب الزمن الذي تتحلل أو تضمحل خلاله الكمية إلى نصف مقدارها الأولي. ويسمى ذلك الزمن نصف العمر ، ويرمز له عادة بالرمز t1/2. ويمكن كتابة نصف العمر بعلاقته بثابت التحلل ، كالآتي

t_ 1/2 frac ln 2 lambda au ln 2.

وعند التعويض بتلك المعادلة عن au في المعدلة الأسية أعلاه نحصل على المعادلة

N(t) N_0 2^ -t/t_ 1/2 . ,

وعندما تكون t t_ 1/2 تصبح 2−1 &nbsp 1/2 ، أي تتحلل نصف الكمية الابتدائية. وكذلك بعد مرور 3 فترات من نصف العمر سيتبقى من الكمية الابتدائية الكمية 1/23&nbsp &nbsp 1/8. وهذا معناه أن متوسط العمر au يساوي نصف العمر مقسوما على اللوغاريتم الطبيعي ln2

au frac t_ 1/2 ln 2 1.442695040888963 cdot t_ 1/2 .

وعلى سبيل المثال يبلغ عمر النصف البولونيوم للبولونيوم -210 المشع 138 يوم ويبلغ متوسط العمر له 200 يوم.

حل المعادلة التفاضلية

المعادلة التي تصف التحلل الأسي (تحلل أسي لأساس الثابت الطبيعي e)

frac dN(t) dt -lambda N(t)

أو

frac dN(t) N(t) -lambda dt.

بإجراء التكامل نحصل على

ln N(t) -lambda t + C ,

حيث C ثابت التكامل. وبالتالي

N(t) e^C e^ -lambda t N_0 e^ -lambda t ,

نعوض عن N_0 e^C عن طريق حل المعادلة عند الزمن الابتدائي t 0 حيث أن الكمية الابتدائية كانت N_0 عند الزمن الابتدائي t 0. تلك هي المعادلة الشائعة الاستخدام لوصف التحلل الأسي. وتعطى وحدات ثابت التحلل math> s−1.

استنتاج متوسط العمر

نفترض مجموعة من الذرات تتحلل باستمرار حتى تتحلل كلها بالكامل، فيكون متوسط العمر au هو الزمن المتوقع لكي تتحلل إحدى الذرات في المجموعة. أي انه إذا كان عمر الذرة الواحدة من المجموعة هو الزمن بين الزمن المرجعي وزمن تحلل الذرة يكون متوسط العمر عبارة عن المتوسط الحسابي لعمر الذرات. نبدأ بالمعادلة الأصلية للمجموعة

N N_0 e^ -lambda t , ,

نستخدم c كعدد توحيد normalzation ، يستخدم لمساواة الكمية بالواحد .

1 int_0^infty c cdot N_0 e^ -lambda t , dt c cdot frac N_0 lambda

أو

c frac lambda N_0 .

يتبين أن التحلل الأسي هو مضاعفات (غير متجهة) للتوزيع الأسي ، أي أن عمر الذرات تكون موزعة توزيعا أسيا يتميز بقيمة متوقعة ، ويمكننا حسابها عن طريق إجراء التكامل الجزئي

au langle t angle int_0^infty t cdot c cdot N_0 e^ -lambda t , dt int_0^infty lambda t e^ -lambda t , dt frac 1 lambda .

عمليات تحلل متوازية

تتحلل بعض العناصر المشعة في عمليات متوازية كل منها له عمر النصف الخاص به ، وتسمى تلك العمليات قنوات التحلل وهي تسير جميعها في نفس الوقت. يكون المعدل الكلي لتحلل الكمية N هو مجموع قنوات التحلل ، أي أنه في حالة التحلل من خلال عمليتين ، يمكن كتابة

-frac dN(t) dt Nlambda _1 + Nlambda _2 (lambda _1 + lambda _2)N.,

وحل تلك المسألة قد أجريناه في فصل آخر أعلاه ، حيث عاملنا المجموع lambda _1 + lambda _2, كثابت تحلل كلي جديد lambda _c,.

N(t) N_0 e^ -(lambda _1 + lambda _2) t N_0 e^ -(lambda _c) t .,

وبما أن au 1/lambda,, مجموع ل au_c, فيمكن تعيينها من lambda,s

frac 1 au_c lambda_c lambda_1 + lambda_2 frac 1 au_1 + frac 1 au_2 ,

au_c frac au_1 au_2 au_1 + au_2 .,

وعلى ذلك فيمكن القول بأن متوسط العمر لعدة قنوات للتحلل هو المتوسط التوافقي لمتوسطات الأعمار المرتبطة لكل عملية تحلل على حدة مقسومة على عدد العمليات. وبما أن عمر النصف أنصاف الأعمار تختلف عن متوسط العمر au, بثابت معين فإن نفس المعادلات تبقى سارية على نصف العمرين المذكورين ، أي أن

T_ 1/2 frac t_1 t_2 t_1 + t_2 ,

حيث

T _ 1/2 مجموع نصفي العمر للعملية

t_1 عمر النصف للتحلل الأول,

و t 2 عمر النصف للتحلل الثاني.

ولكتابة المعادلة باستخدام ثابتي التحلل ، يصبح عمر النصف الكلي T _ 1/2 موصوفا بالمعادلة

T_ 1/2 frac ln 2 lambda _c frac ln 2 lambda _1 + lambda _2 .,

وفي حالة تحلل يجري فيها ثلاثة من العمليات متزامنين فيمكن حساب عمر النصف الكلي كما أوضحانا أعلاه عن طريق حساب المتوسط التوافقي لمتوسطات الأعمار الفردية

T_ 1/2 frac t_1 t_2 t_3 (t_1 t_2) + (t_1 t_3) + (t_2 t_3) frac ln 2 lambda _c frac ln 2 lambda_1 + lambda_2 + lambda_3 .,

ظواهر تحكمها الدالة الأسية

Courbe decharge condensateur.png 300 حالة تفريغ شحنة مكثف كهربي تتبع دالة أسية حيث الثابت الزمني يساوي C.R من خصائص الدارة الكهربية C سعة المكثف ، و R مقاومة في دارة كهربائية الدارة الكهربائية .

• تتحلل العناصر المشعة طبقا للدالة الأسية كما رئينا أعلاه
• إذا تلامس جسم ساخن بجسم بارد تنتقل الحرارة بينهما طبقا للدالة الأسية عنما يجري ذلك بسرعة بطيئة ، قانون نيوتن للتبريد .
• يعتمد معدل سير التفاعل الكيميائي على تركيز أحد المواد الداخلة في التفاعل أو تركيز كلاهما. تلك الأنواع من التفاعلات تحكمها دالة أسية. كذلك تفاعل الإنزيمات وتفاعل محفز المحفزات تسير طبقا لدالة أسية.
• يقل الضغط الجوي بالارتفاع عن سطح الأرض طبقا لدالة أسية ، ويبلغ معدل انخفاض الضغط بالرتفاع 12 لكل 1000 متر .
• تنخفض شحنة مكثف كهربائي ذو سعة كهربائية C طبقا لدالة أسية في حالة ثبات المقاومة R

ويكون مقدار الثابت الزمني د„ للعملية مساويا R C ، وزمن الشحن إلى النصف مساويا R C ln2. وفي حالة تفريغ مكثف كهربي عبر عدة مقاومة مقاومات دارة التوالي أو التوازي موصلة على التوازي فهذا مثال على عمليات اضمحلال متتابعة حيث تمصل كل مقاومة عملية منفردة. وفي الواقع فإن معادلات توصيل مقاومتين على التوالي أو على التوازي فإنما هي مناظرة لمعادلات التحلل الأسي عن طريق عمليتين.

• تضمحل بعض الاهتزازات طبقا لدالة أسية
• في صيدلة الصيدلة وعلم السموم فقد وجد أن أدوية عديدة تتفاعل في الجسم طبقا لدالة أسية. وتعطي كل من عمر النصف ألفا و عمر النصف بيتا في الطب معدل انتشار مادة في الجسم ومعدل اضمحلالها.
• تتغير شدة الموجات الكهرومغناطيسية مثل الضوء و أشعة إكس أو أشعة غاما في وسط يمتصها طبقا لدالة أسية تعتمد على مدى تعمقها في الوسط.

Plot-exponential-decay.svg 400 كمية تتحلل أسيـّا طبقا لثابت تحلل يختص بها. ثابت تحلل كبير يعني أن تتحلل الكمية سريعا. وتبين المنحنيات قيم مختلفة لثلبت التحلل 25, 5, 1, 1/5, و 1/25 لقيم x من 0 إلى 5. يقال عن كمية أنها تتحلل أسيـّا أو تضمحل أسيـّا في الفيزياء النووية و الإلكترونيات (بالإنجليزية exponential decay) عندما يكون معدل اضمحلالها متناسبا مع كميتها. ويمكن التعبير عن عملية كهذه بالمعادلة التفاضلية الآتية ، حيث N الكمية (أو عدد ذرات) و(خ» (lambda عدد صحيح يسمى ثابت التحلل

frac dN dt -lambda N.

وحل تلك المعادلة (أنظر حل المعادلات التفاضلية) تعطينا معادلة الدالة الأسية للأساس الطبيعي e

N(t) N_0 e^ -lambda t . ,

حيث

N(t) الكمية عند الزمن t,

و N0 N(0) الكمية الابتدائية عند الزمن t 0.