الدوران في بعدين

كما ذُكِر بالأعلى، فإن تدوير نقطة ما بزاوية معينة يكافئ تماما لتدوير نظام إحداثي ديكارتي نظام الإحداثيات نفسه بالاتجاه المعاكس. تدوير الإحداثيات عكس عقارب الساعة 2 تدوير الإحداثيات عكس عقارب الساعة يمكننا دراسة الحالة حيث يتم تدوير نظام إحداثي ديكارتي نظام الإحداثيات بزاوية خ¸ عكس عقارب الساعة (وهو الإتجاه الموجب للدوران) حول نقطة الأصل. يمكننا أن نرى أن

P_x P cos phi

P_y P sin phi

حيث P هي طول متجه الموضع للنقطة العامة (x, y)، و خ¸ هي الزاوية بين المحورين x و x، و خ¦ هي الزاوية بين متجه موضع النقطة ومحور x. كذلك

P'_x P cos (phi - heta)

P'_x P cosphi cos heta + P sinphi sin heta

P'_y P sin (phi - heta)

P'_y P sinphi cos heta - P cosphi sin heta

أي أن

P'_x P_x cos heta + P_y sin heta

P'_y -P_x sin heta + P_y cos heta

ويمكن التعبير عن هاتين المعادلتين عن طريق المصفوفات

egin bmatrix P'_x P'_y end bmatrix egin bmatrix cos heta & sin heta -sin heta & cos heta end bmatrix egin bmatrix P_x P_y end bmatrix تذكر أن المصفوفة المذكورة في المعادلة السابقة هي لتدوير الإحداثيات عكس اتجاه الساعة، مما يكافي تدوير النقطة ذاتها مع عقارب الساعة.

عناصر المصفوفة

بما أن

sin heta cos (frac pi 2 - heta )

و

-sin heta cos (frac pi 2 + heta )

يمكننا كتابة مصفوفة الدوران على النحو التالي

R

egin bmatrix cos heta & cos (frac pi 2 - heta ) cos (frac pi 2 + heta ) & cos heta end bmatrix ونلاحظ أن مدخلات المصفوفة هي نفسها جيب تمام اتجاه جيوب تمام اتجاه المحاور الجديدة نسبة إلى القديمة. للتسهيل يمكننا أن نكتب

R

egin bmatrix r_ x'x & r_ x'y r_ y'x & r_ y'y end bmatrix حيث rx'x هو جيب تمام إتجاه المحور x بالنسبة لمحور x والباقي بالمثل.

الدوران في ثلاثة أبعاد

كما رأينا في حالة تدوير نظام إحداثي ديكارتي نظام الإحداثيات في بعدين فإن الدوران يكون حول نقطة الأصل. أما في حالة الثلاثة أبعاد فإن الدوران يكون حول محور ما I يمر بنقطة الأصل. يمكننا أن نرمز لمصفوفة الدوران بالرمز R_ I, heta أي الدوران حول محور I بزاوية خ¸.

الدوران حول المحاور الأساسية

من السهل دائما القيام بالدوران حول أحد المحاور الأساسية، فالعملية مشابهة تماما للدوران في بعدين حول نقطة الأصل مع تعديل بسيط. تُعطى مصفوفات الدوران بزاوية خ¸ عكس اتجاه عقارب الساعة حول المحاور الأساسية x و y و z على الترتيب كالآتي

R_ x, heta egin bmatrix

1 & 0 & 0 0 & cos heta & sin heta 0 & -sin heta & cos heta end bmatrix , R_ y, heta egin bmatrix cos heta & 0 & -sin heta 0 & 1 & 0 sin heta & 0 & cos heta end bmatrix ,R_ z, heta egin bmatrix cos heta & sin heta & 0 -sin heta & cos heta & 0 0 & 0 & 1 end bmatrix

الدوران حول محور z

بالفعل يمكننا أن نمثل تدوير نظام إحداثي ديكارتي نظام الإحداثيات حول محور z بزاوية خ¸

egin bmatrix

x' y' z' end bmatrix egin bmatrix cos heta & sin heta & 0 -sin heta & cos heta & 0 0 & 0 & 1 end bmatrix egin bmatrix x y z end bmatrix كما نرى فإن المحور z لم يتغير.

الدوران حول محور y

يمكننا بالمثل القيام بالدوران حول المحور y، وتكون المعادلة

egin bmatrix

x' y' z' end bmatrix egin bmatrix cos heta & 0 & -sin heta 0 & 1 & 0 sin heta & 0 & cos heta end bmatrix egin bmatrix x y z end bmatrix عندما نقوم بفك المعادلة السابقة وإعادة ترتيبها، سنجد أن

x' x cos heta - z sin heta

y' y

z' x sin heta + z cos heta

والتي يمكن اعادة التعبير عنها كالتالي

egin bmatrix

z' x' y' end bmatrix egin bmatrix cos heta & sin heta & 0 -sin heta & cos heta & 0 0 & 0 & 1 end bmatrix egin bmatrix z x y end bmatrix يرجى ملاحظة الفرق في ترتيب الإحداثيات في المصفوفتين العموديتين.

الدوران حول محور x

بأسلوب مماثل نجد أن الدوران حول المحور x يتم التعبير عنه كالتالي

egin bmatrix

x' y' z' end bmatrix egin bmatrix 1 & 0 & 0 0 & cos heta & sin heta 0 & -sin heta & cos heta end bmatrix egin bmatrix x y z end bmatrix

الدوران حول محور عام

رأينا فيما سبق ثلاث حالات خاصة لتدوير نظام إحداثي ديكارتي نظام الإحداثيات حول المحاور الأساسية. سنعطي الآن مصفوفة الدوران بزاوية خ¸ عكس اتجاه عقارب الساعة حول أي محور يمر بنقطة الأصل و I هي وحدة المتجه لهذا المحور.

R_ I, heta egin bmatrix cos heta +I_x^2 (1-cos heta ight) & I_x I_y (1-cos heta ight) + I_z sin heta & I_x I_z (1-cos heta ight) - I_y sin heta I_y I_x (1-cos heta ight) - I_z sin heta & cos heta + I_y^2 (1-cos heta ight) & I_y I_z (1-cos heta ight) + I_x sin heta I_z I_x (1-cos heta ight) + I_y sin heta & I_z I_y (1-cos heta ight) - I_x sin heta & cos heta + I_z^2 (1-cos heta ight)

end bmatrix حيث Ix و Iy و Iz هي مركبات وحدة المتجه I.

عكس الدوران

رأينا فيما سبق مصفوفة الدوران التي تحول من نظام x إلى نظام 'x. وأن التعبير المختصر لتلك العملية هو

mathbf x' Rmathbf x

أما إذا أردنا أن نعبر عن التحويل من نظام 'x إلى نظام x فإن معادلة التحويل العكسي تصير

mathbf x R^Tmathbf x'

يمكن إثبات ذلك ببساطة عن طريق فك المعادلة الأولى وإعادة ترتيبها بدلالة (x, y, z) عوضا عن ('x', y', z) فينتج المطلوب. وهكذا تكون المصفوفة التي تعبر عن تحويل 'x إلى x هي RT. ونلاحظ أن عملية التحويل تلك تكافئ تماما الدوران في الإتجاه العكسي. أي أنه إذا كانت R هي مصفوفة الدوران بزاوية خ¸ في الإتجاه الموجب (عكس عقارب الساعة) فإن RT هي مصفوفة الدوران بنفس الزاوية لكن في الإتجاه العكسي. نلاحظ كذلك أن RT R-1، أي أنها تساوي معكوس المصفوفة المصفوفة العكسية . شريط بوابات رياضيات تصنيف جبر خطي تصنيف فيزياء رياضية تصنيف مصفوفات في الجبر الخطي، مصفوفة الدوران هي مصفوفة تستخدم لتدوير متجه ما أو (بعملية مكافئة) تدوير نظام إحداثي ديكارتي نظام الإحداثيات ذاته. مثلا لتدوير متجه موضع لنقطة (x, y) بزاوية خ¸ عكس عقارب الساعة أو تدوير نظام إحداثي ديكارتي نظام الإحداثيات بنفس الزاوية لكن مع عقارب الساعة فإن مصفوفة الدوران تكون

R

egin bmatrix cos heta & -sin heta sin heta & cos heta end bmatrix تدوير نقطة عكس عقارب الساعة تدوير نقطة عكس عقارب الساعة تدوير الإحداثيات مع عقارب الساعة تدوير الإحداثيات مع عقارب الساعة تستخدم مصفوفات الدوران في بعض التطبيقات في مجالات الهندسة و الفيزياء و رسوميات حاسوبية الرسوميات الحاسوبية وغيرها. يمكن التعبير عن التحويل من الإحداثيات (x, y, z) إلى الإحداثيات ('x', y', z) بالشكل المختصر

mathbf x' Rmathbf x

حيث

mathbf x egin bmatrix

x y z end bmatrix , mathbf x' egin bmatrix x' y' z' end bmatrix و R هي مصفوفة الدوران. مصفوفة الدوران يجب أن تكون المصفوفة المربعة مصفوفة مربعة وذات عناصر عدد حقيقي حقيقية . بشكل أكثر تحديدا، تتميز مصفوفات الدوران بأنها المصفوفات المتعامدة مصفوفة متعامدة و محدد تها تساوي 1.

R^ T R^ -1 , R 1,