أمثلة للمعادلات الديوفانتية

في المعادلات الديوفانتية التالية x و y و z مجاهيل والحروف الأخرى تمثل ثوابت

ax+by 1,
هذه معادلة ديوفانتية خطية (انظر المعادلات الديوفانتية الخطية فقرة المعادلات الديوفانتية الخطية أسفله).

x^n+y^n z^n ,
بالنسبة إلى n 2 هناك عدد غير منته من الحلول حيث (x,y,z) هي ثلاثية فيثاغورس . عندما يكون n أكبر قطعا من 2, مبرهنة فيرما الأخيرة تنص على أنه لا توجد أية حلول موجبة طبيعية (x, y, z) تحقق المعادلة.

x^2-ny^2 pm 1,
( معادلة بيل ) سميت هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الإنجليزي جون بيل . درست من طرف براهماغوبتا في القرن السابع كما درست من طرف بيير دي فيرما فيرما في القرن السابع عشر.

frac 4 n frac 1 x + frac 1 y + frac 1 z
حدسية إيردوس–ستروس تنص على أنه بالنسبة لكل عدد طبيعي n، أكبر من أو يساوي 2، يوجد حل لهذه المعادلة حيث x و y و z هي أعداد موجبة طبيعية. رغم أن هذه المعادلة عادة ما لا تطرح على شكل متعددة للحدود، فإنها تكافئ المعادلة الحدودية التالية (4xyz&nbsp &nbsp yzn&nbsp +&nbsp xzn&nbsp +&nbsp xyn&nbsp &nbsp n(yz&nbsp +&nbsp xz&nbsp +&nbsp xy).

المعادلات الديوفانتية الخطية

معادلة واحدة

تكتب أبسط معادلة ديفونتية معادلة خطية خطية على الصيغة ax + by c ، حيث a و b و c أعداد صحيحة معطاة. تعطى جميع حلول المعادلة في المبرهنة التالية

يوجد للمعادلة الديفونتية حلول (حيث x و y أعداد صحيحة) إذا وفقط إذا كان c مضاعفاً لـ القاسم المشترك الأكبر لـa و b.

بالإضافة إلى أنه إذا كان (x,y) حل، فإن الحلول الأخرى تكتب على الصيغة (x + kv, y – ku) ، حيث k عدد صحيح، و u و v باق (رياضيات) بواقي قسمة a و b على القاسم المشترك الأكبر لـa و b.

مبرهنة الباقي الصيني

تصف مبرهنة الباقي الصيني صنفاً مهماً من المعادلات الديفونتية الخطية ليكن n1, …, nk k عدد صحيح أولية نسبياً أكبر من 1، a1, …, ak k عدد صحيح، و N حاصل ضرب n1 ··· nk.

تنص مبرهنة الباقي الصيني أن نظام المعادلات الديفونتية الخطي التالي له حل واحد بالضبط nowrap (x, x1, …, xk) بحيث 0 ≤ N ≥ x ، و أن الحلول الأخرى توجد بإضافة x مضاعف لـN

egin

x& a_1 + n_1,x_1

&vdots

x& a_k+n_k,x_k

end

التحليل الديوفانتي

القرنين السابع عشر والثامن عشر

kl.h.

الأبحاث المعاصرة

Rtriangle.svg ايجاد جميع المثلثات القائمة ذات أضلاع طولها مساو لأعداد صحيحة طبيعية يكافئ حلحلة المعادلة الديوفانتية a^2+b^2 c^2 ,.

في الرياضيات، المعادلة الديفونتية إنك Diophantine equation هي معادلة كثيرة حدود في متغيرين أو أكثر بشرط أنه لايتم دراسة إلا الحلول أعداد صحيحة الصحيحة . المعادلة الديفونتية الخطية هي معادلة في مجموع من وحيدات حد من الدرجة الأولى أو الصفرية.

يعود أصل الكلمة ديفونتية إلى العالم اليوناني ديوفانتوس والذي عاش في القرن الثالث قبل الميلاد في الإسكندرية ، حيث قام بدراسة هذه المعادلات و حقيقة كان من أول العلماء الذين قاموا بإضافة الرموز الرياضية إلى الجبر .

على الرغم من أن المعادلات الديفونتية المفردة تم دراستها على مر التاريخ، فإنه لم يتمكن من صياغة نظريات شاملة حول المعادلات الديفونتية إلا في القرن العشرين.