تم النشر اليوم 2024/05/29 | جداء نقطي

تعريف

تعريف جبري عام
ليكن E
{displaystyle E} فضاء متجهي حقيقي (معرف على حقل الأعداد الحقيقية
R {displaystyle mathbb {R} } ) نعرف الجداء السُلمي على أنه كل دالة ⟨
⋅ | ⋅
⟩
{displaystyle langle cdot |cdot rangle } : ⟨
⋅ | ⋅
⟩
: E
×
E
⟶ R (
x
,
y
)
⟼ ⟨
x | y
⟩ {displaystyle {begin{alignedat}{2}{displaystyle langle cdot |cdot rangle }:quad &Etimes Elongrightarrow mathbb {R} \&(x,y)longmapsto displaystyle langle x|yrangle \end{alignedat}}} ∀
x
,
y
,
z
∈
E ∀
a
,
b
∈ R {displaystyle forall x,y,zin Equad {mathcal {forall }}a,bin {displaystyle mathbb {R} }} ⟨
x | y
⟩
=
⟨
y | x
⟩
{displaystyle langle x|yrangle =langle y|xrangle }
⟨
a
x
+
b
y | z
⟩
=
a
⟨
x | z
⟩
+
b
⟨
y | z
⟩
{displaystyle langle ax+by|zrangle =alangle x|zrangle +blangle y|zrangle }
⟨
x | x
⟩
≥
0
{displaystyle langle x|xrangle geq 0}
⟨
x | x
⟩
=
0 ⟺ x
= 0 E
{displaystyle langle x|xrangle =0quad Longleftrightarrow quad x=0_{E}}
تعريف على R
n
{displaystyle mathbb {R} ^{n}}
الضرب القياسي الاعتيادي لمتجهتين x
=
( x 1
, x 2
,
.
.
.
, x n
)
{displaystyle x=(x_{1},x_{2},…,x_{n})} و y
=
( y 1
, y 2
,
.
.
.
, y n
)
{displaystyle y=(y_{1},y_{2},…,y_{n})} من R
n
{displaystyle mathbb {R} ^{n}} يعرف ويرمز له بـ ⟨
x | y
⟩
= x ⋅ y := ∑ i
=
1
n x i y i
= x 1 y 1
+ x 2 y 2
+
⋯
+ x n y n
{displaystyle langle x|yrangle =mathbf {x} cdot mathbf {y} :=sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+cdots +x_{n}y_{n}}
على سبيل المثال، في الفضاء ثلاثي الأبعاد R
3
{displaystyle mathbb {R} ^{3}} ، الضرب القياسي لمتجهين (
1
,
−
3
,
5
)
{displaystyle (1,-3,5)} و (
−
1
,
−
2
,
4
)
{displaystyle (-1,-2,4)} هو:
(
−
1
,
−
2
,
4
)
⋅
(
1
,
−
3
,
5
)
=
(
−
1
)
×
1
+
(
−
2
)
×
(
−
3
)
+
4
×
5
=
−
1
+
6
+
20
=
25
{displaystyle (-1,-2,4)cdot (1,-3,5)=(-1)times 1+(-2)times (-3)+4times 5=-1+6+20=25}
تعريف هندسي
الجداء القياسي بين متجهتين تكونان زاوية حادة θ
{displaystyle theta }
في الفضاء الإقليدي، صيغة أخرى لحاصل الضرب القياسي
A ⋅ B =
A
B
cos
⁡
θ
{displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {B} =ABcos theta }
حيث A هو طول المتجه A وB هو طول المتجه B وθ هي الزاوية المحصورة بينهما.

خصائص

تبديلي:
a ⋅ b = b ⋅ a .
{displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} =mathbf {b} cdot mathbf {a} .}
تنبثق هذه الخاصية من تعريف الجداء القياسي (θ هي الزاوية المحصورة بين a وb) a ⋅ b =
‖ a ‖
‖ b ‖
cos
⁡
θ
=
‖ b ‖
‖ a ‖
cos
⁡
θ
= b ⋅ a {displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} =|mathbf {a} ||mathbf {b} |cos theta =|mathbf {b} ||mathbf {a} |cos theta =mathbf {b} cdot mathbf {a} }
توزيعي على جمع المتجهات: (a.b + a.c = a.(b+c
تعامدي: متجهتان a وb مختلفتان عن الصفر يكونان متعامدتين إذا وفقط إذا توفر a.b = 0.
لا إلغاء:
تطبيق لقانون الجيب التمام
مثلث ضلعاه a وb تفصلهما زاوية θ.

المقالة الرئيسة: قانون جيب التمام c ⋅ c
=
( a − b )
⋅
( a − b )
= a ⋅ a − a ⋅ b − b ⋅ a + b ⋅ b = a 2
− a ⋅ b − a ⋅ b + b 2
= a 2
−
2 a ⋅ b + b 2 c 2 = a 2
+ b 2
−
2
a
b
cos
⁡
θ
{displaystyle {begin{aligned}mathbf {c} cdot mathbf {c} &=(mathbf {a} -mathbf {b} )cdot (mathbf {a} -mathbf {b} )\&=mathbf {a} cdot mathbf {a} -mathbf {a} cdot mathbf {b} -mathbf {b} cdot mathbf {a} +mathbf {b} cdot mathbf {b} \&=a^{2}-mathbf {a} cdot mathbf {b} -mathbf {a} cdot mathbf {b} +b^{2}\&=a^{2}-2mathbf {a} cdot mathbf {b} +b^{2}\c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2abcos theta \end{aligned}}}
وهذا هو قانون الجيب التمام. وتعبر أيضا عن خاصية الكاشي

تعميمات

الجداء الداخلي المقالة الرئيسة: فضاء الجداء الداخلي
انظر إلى فضاء متجهي معياري.

في الفيزياء

الجداء القياسي يعبر عن كميات عددية لا علاقة لها برسم شعاع مثل (الجهد، العزم ….)

شرح مبسط

الجداء النقطي أو الضرب النقطي أو الجداء القياسي (بالإنجليزية: Dot product)‏ ويسمى أحيانا الضرب القياسي أو الجداء السُلمي، هو عمليةٌ جبرية بين متجهين ونتيجتها كمية قياسية.