تم النشر اليوم 2024/07/07 | متسلسلة متداخلة

أمثلة أخرى

يمكن تمثيل العديد من الدوال المثلثية كفرق بين مجموعة من العبارات ، مما يسمح بالإلغاء بين العبارات المتتالية. ∑ n = 1 N sin ⁡ ( n ) = ∑ n = 1 N 1 2 csc ⁡ ( 1 2 ) ( 2 sin ⁡ ( 1 2 ) sin ⁡ ( n ) ) = 1 2 csc ⁡ ( 1 2 ) ∑ n = 1 N ( cos ⁡ ( 2 n − 1 2 ) − cos ⁡ ( 2 n + 1 2 ) ) = 1 2 csc ⁡ ( 1 2 ) ( cos ⁡ ( 1 2 ) − cos ⁡ ( 2 N + 1 2 ) ) . {displaystyle {begin{aligned}sum _{n=1}^{N}sin left(nright)&{}=sum _{n=1}^{N}{frac {1}{2}}csc left({frac {1}{2}}right)left(2sin left({frac {1}{2}}right)sin left(nright)right)\&{}={frac {1}{2}}csc left({frac {1}{2}}right)sum _{n=1}^{N}left(cos left({frac {2n-1}{2}}right)-cos left({frac {2n+1}{2}}right)right)\&{}={frac {1}{2}}csc left({frac {1}{2}}right)left(cos left({frac {1}{2}}right)-cos left({frac {2N+1}{2}}right)right).end{aligned}}} بعض المجاميع تحت الشكل الآتي: ∑ n = 1 N f ( n ) g ( n ) {displaystyle sum _{n=1}^{N}{f(n) over g(n)}} بحيث f f و g {displaystyle g} هم دوال متعددة الحدود يمكن تقسيم كسرهما إلى كسور جزئية ، هذه الطريقة لا تستوفي الجمع. على وجه الخصوص: ∑ n = 0 ∞ 2 n + 3 ( n + 1 ) ( n + 2 ) = ∑ n = 0 ∞ ( 1 n + 1 + 1 n + 2 ) = ( 1 1 + 1 2 ) + ( 1 2 + 1 3 ) + ( 1 3 + 1 4 ) + ⋯ ⋯ + ( 1 n − 1 + 1 n ) + ( 1 n + 1 n + 1 ) + ( 1 n + 1 + 1 n + 2 ) + ⋯ = ∞ . {displaystyle {begin{aligned}sum _{n=0}^{infty }{frac {2n+3}{(n+1)(n+2)}}={}&sum _{n=0}^{infty }left({frac {1}{n+1}}+{frac {1}{n+2}}right)\={}&left({frac {1}{1}}+{frac {1}{2}}right)+left({frac {1}{2}}+{frac {1}{3}}right)+left({frac {1}{3}}+{frac {1}{4}}right)+cdots \&{}cdots +left({frac {1}{n-1}}+{frac {1}{n}}right)+left({frac {1}{n}}+{frac {1}{n+1}}right)+left({frac {1}{n+1}}+{frac {1}{n+2}}right)+cdots \={}&infty .end{aligned}}} المشكلة هي أنه هنا العبارات لا تلغي بعضها البعض.

تعميم

متسلسلة متداخلة من القوى المجاميع المتداخلة هي مجاميع محدودة تلغي فيها العبارات المتتالية بعضها البعض ، تاركة فقط الأعداد الأولية والنهائية. لتكن a n {displaystyle a_{n}} متسلسلة من الأعداد. إذاً، ∑ n = 1 N ( a n − a n − 1 ) = a N − a 0 {displaystyle sum _{n=1}^{N}left(a_{n}-a_{n-1}right)=a_{N}-a_{0}} إذا كانت a n → 0 {displaystyle a_{n}rightarrow 0} ، فإن: ∑ n = 1 ∞ ( a n − a n − 1 ) = − a 0 {displaystyle sum _{n=1}^{infty }left(a_{n}-a_{n-1}right)=-a_{0}} الجداءات المتداخلة هي جداءات محدودة حيث تلغي العبارات المتتالية المقام بالبسط ، تاركة فقط الأعداد الأولية والنهائية. لتكن a n {displaystyle a_{n}} متسلسلة من الأعداد. إذاً، ∏ n = 1 N a n − 1 a n = a 0 a N {displaystyle prod _{n=1}^{N}{frac {a_{n-1}}{a_{n}}}={frac {a_{0}}{a_{N}}}} إذا كانت a n → 1 {displaystyle a_{n}rightarrow 1} ، فإن: ∏ n = 1 ∞ a n − 1 a n = a 0 {displaystyle prod _{n=1}^{infty }{frac {a_{n-1}}{a_{n}}}=a_{0}}

شرح مبسط

في الرياضيات ، المتسلسة المتداخلة هي متسلسة، تكتب على شكل t n {displaystyle t_{n}} بحيث t n = a n − a n + 1 {displaystyle t_{n}=a_{n}-a_{n+1}} ، أي الفرق بين عددين متتاليتين في المتتالية ( a n ) {displaystyle (a_{n})} .[بحاجة لمصدر]