تم النشر اليوم 2024/07/07 | حركة جسيم في بعد واحد

نموذج كرونيج - بيني

يفسر هذا النموذج حركة الكترونات التوصيل بين حاجز جهد مستطيل تحت تأثير فرق جهد دوري , فتكون دالة الجهد تساوي تقريبا فرق الجهد للمستطيل: وباستخدام نظرية بلوخ لإيجاد حل الدالة على فترة واحدة F o r − 1 2 ( a − b ) < x < 1 2 ( a − b ) : {displaystyle Forquad -{frac {1}{2}}(a-b)<x<{frac {1}{2}}(a-b):,!} − ℏ 2 2 m ψ x x = E ψ {displaystyle {-hbar ^{2} over 2m}psi _{xx}=Epsi ,!} ⇒ ψ = A e i α x + A ′ e − i α x ( α 2 = 2 m E ℏ 2 ) {displaystyle Rightarrow psi =Ae^{ialpha x}+A'e^{-ialpha x}quad left(alpha ^{2}={2mE over hbar ^{2}}right),!} F o r − 1 2 ( a + b ) < x < − 1 2 ( a − b ) : {displaystyle Forquad -{frac {1}{2}}(a+b)<x<-{frac {1}{2}}(a-b):,!} − ℏ 2 2 m ψ x x = ( E + V 0 ) ψ {displaystyle {-hbar ^{2} over 2m}psi _{xx}=(E+V_{0})psi ,!} ⇒ ψ = B e i β x + B ′ e − i β x ( β 2 = 2 m ( E + V 0 ) ℏ 2 ) . {displaystyle Rightarrow psi =Be^{ibeta x}+B'e^{-ibeta x}quad left(beta ^{2}={2m(E+V_{0}) over hbar ^{2}}right).,!} ولإيجاد الدالة لجميع الفترات u(x) نقوم بحل الدالة الموجية ψ ( 0 < x < a − b ) = A e i α x + A ′ e − i α x = e i k x ⋅ ( A e i ( α − k ) x + A ′ e − i ( α + k ) x ) {displaystyle psi (0<x<a-b)=Ae^{ialpha x}+A'e^{-ialpha x}=e^{ikx}cdot left(Ae^{i(alpha -k)x}+A'e^{-i(alpha +k)x}right),!} ⇒ u ( 0 < x < a − b ) = A e i ( α − k ) x + A ′ e − i ( α + k ) x . {displaystyle Rightarrow u(0<x<a-b)=Ae^{i(alpha -k)x}+A'e^{-i(alpha +k)x}.,!} وبنفس الطريقة u ( − b < x < 0 ) = B e i ( β − k ) x + B ′ e − i ( β + k ) x . {displaystyle u(-b<x<0)=Be^{i(beta -k)x}+B'e^{-i(beta +k)x}.,!} ψ ( 0 − ) = ψ ( 0 + ) ψ ′ ( 0 − ) = ψ ′ ( 0 + ) . {displaystyle psi (0^{-})=psi (0^{+})qquad psi '(0^{-})=psi '(0^{+}).,!} u ( − b ) = u ( a − b ) u ′ ( − b ) = u ′ ( a − b ) . {displaystyle u(-b)=u(a-b)qquad u'(-b)=u'(a-b).,!} فتكون المصفوفة ( 1 1 − 1 − 1 α − α − β β e i ( α − k ) ( a − b ) e − i ( α + k ) ( a − b ) − e − i ( β − k ) b − e i ( β + k ) b ( α − k ) e i ( α − k ) ( a − b ) − ( α + k ) e − i ( α + k ) ( a − b ) − ( β − k ) e − i ( β − k ) b ( β + k ) e i ( β + k ) b ) ( A A ′ B B ′ ) = ( 0 0 0 0 ) . {displaystyle {begin{pmatrix}1&1&-1&-1\alpha &-alpha &-beta &beta \e^{i(alpha -k)(a-b)}&e^{-i(alpha +k)(a-b)}&-e^{-i(beta -k)b}&-e^{i(beta +k)b}\(alpha -k)e^{i(alpha -k)(a-b)}&-(alpha +k)e^{-i(alpha +k)(a-b)}&-(beta -k)e^{-i(beta -k)b}&(beta +k)e^{i(beta +k)b}end{pmatrix}}{begin{pmatrix}A\A'\B\B'end{pmatrix}}={begin{pmatrix}0\0\0\0end{pmatrix}}.,!} عندما يكون محدد المصفوفة مساويا للصفر , يكون cos ⁡ ( k a ) = cos ⁡ ( β b ) cos ⁡ [ α ( a − b ) ] − α 2 + β 2 2 α β sin ⁡ ( β b ) sin ⁡ [ α ( a − b ) ] . {displaystyle cos(ka)=cos(beta b)cos[alpha (a-b)]-{alpha ^{2}+beta ^{2} over 2alpha beta }sin(beta b)sin[alpha (a-b)].,!} وللتبسيط b → 0 ; V 0 → ∞ ; V 0 b = c o n s t a n t {displaystyle brightarrow 0 ; V_{0}rightarrow infty ; V_{0}b=mathrm {constant} ,!} ⇒ β 2 b = c o n s t a n t ; α 2 b → 0 {displaystyle Rightarrow beta ^{2}b=mathrm {constant} ; alpha ^{2}brightarrow 0,!} ⇒ β b → 0 ; sin ⁡ ( β b ) → β b ; cos ⁡ ( β b ) → 1. {displaystyle Rightarrow beta brightarrow 0 ; sin(beta b)rightarrow beta b ; cos(beta b)rightarrow 1.,!} بالتالي cos ⁡ ( k a ) = cos ⁡ ( α a ) − P sin ⁡ ( α a ) α a ( P = m V 0 b a h 2 ) . {displaystyle cos(ka)=cos(alpha a)-P{sin(alpha a) over alpha a}qquad left(P={mV_{0}ba over h^{2}}right).,!}

شرح مبسط

حركة جسيم في بعد واحد (بالإنجليزي: Particle in a one-dimensional lattice)