تم النشر اليوم 2024/07/07 | متسلسلة ماكلورين

وصلات داخلية

متسلسلة تايلور متسلسلة (رياضيات) كولين ماكلورين

أمثلة

e x = 1 + x 1 ! + x 2 2 ! + … {displaystyle e^{x}=1+{frac {x}{1!}}+{frac {x^{2}}{2!}}+dots } sin ⁡ ( x ) = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − … {displaystyle sin(x)=x-{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{5}}{5!}}-dots } cos ⁡ ( x ) = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − … {displaystyle cos(x)=1-{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{4}}{4!}}-dots } ln ⁡ ( x + 1 ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n x n = x − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 + ⋯ . {displaystyle ln(x+1)=sum _{n=1}^{infty }{frac {(-1)^{n-1}}{n}}x^{n}=x-{frac {x^{2}}{2}}+{frac {x^{3}}{3}}-{frac {x^{4}}{4}}+cdots .} cosh ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n ( 2 n ) ! = 1 + x 2 2 ! + x 4 4 ! + x 6 6 ! + … {displaystyle {cosh x=sum limits _{n=0}^{infty }{frac {x^{2n}}{left({2n}right)!}}}={1+{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{4}}{4!}}}+{{frac {x^{6}}{6!}}+ldots }} sinh ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! = x + x 3 3 ! + x 5 5 ! + x 7 7 ! + … {displaystyle {sinh x=sum limits _{n=0}^{infty }{frac {x^{2n+1}}{left({2n+1}right)!}}}={x+{frac {x^{3}}{3!}}}+{frac {x^{5}}{5!}}+{{frac {x^{7}}{7!}}+ldots }}

تعريف

إذا كانت الدالة الرياضية f ( x ) f(x) قابلة للاشتقاق n {displaystyle n} مرة في النقطة x 0 {displaystyle {x}_{0}!} فإنه يمكن كتابتها كما يلي: f ( x ) = ∑ k = 0 n f k ( x 0 ) k ! ( x − x 0 ) k + R n ( x ) {displaystyle f(x)=sum _{k=0}^{n}{frac {f^{k}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}+R_{n}(x)!} إذا عوضت n {displaystyle n} بلانهاية فإنه يُحصل على متسلسلة لا منتهية هي بذاتها الدالة f {displaystyle f} أي أن الجزء R n ( x ) {displaystyle R_{n}(x)!} يصير صفرا والمتسلسلة تساوي الدالة في كل النقاط x x : f ( x ) = ∑ k = 0 ∞ f k ( x 0 ) k ! ( x − x 0 ) k {displaystyle f(x)=sum _{k=0}^{infty }{frac {f^{k}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}} أو f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) 1 ! ( x − x 0 ) + f ″ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + ⋯ {displaystyle f(x)=f(x_{0})+{frac {f'(x_{0})}{1!}}(x-x_{0})+{frac {f''(x_{0})}{2!}}(x-x_{0})^{2}+cdots } إذا كانت x 0 = 0 {displaystyle x_{0}=0,} في هذه المتسلسلة يمكن الحصول على متسلسلة أبسط للنشر بقرب الصفر وهي متسلسلة ماكلورين: f ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) 1 ! ( x ) + f ″ ( 0 ) 2 ! ( x ) 2 + f ( 3 ) ( 0 ) 3 ! ( x ) 3 + ⋯ {displaystyle f(x)=f(0)+{frac {f'(0)}{1!}}(x)+{frac {f''(0)}{2!}}(x)^{2}+{frac {f^{(3)}(0)}{3!}}(x)^{3}+cdots }

شرح مبسط

إذا كانت x 0 = 0 {displaystyle x_{0}=0,} في متسلسلة تايلور، يمكن الحصول على متسلسلة أبسط للنشر بقرب الصفر وهي متسلسلة ماكلورين. سميت السلسلة على اسم عالم الرياضيات الإسكتلندي كولين ماكلورين.[1]