تم النشر اليوم 2024/06/10 | سرعة حدية

العلاقة الرياضية

يمكن اشتقاق قانون السرعة الختامية من العلاقات الفيزيائية الأساسية للسقوط الحر مع ادراج قوة مقاومة المائع: F n
e
t
=
m
a
=
m
g
−
1
2
ρ v 2
A C
d
.
{displaystyle F_{net}=ma=mg-{1 over 2}rho v^{2}AC_{mathrm {d} } .} تكون محصلة القوة عند الاتزان صفر (F = 0);
m
g
−
1
2
ρ v 2
A C
d =
0

.
{displaystyle mg-{1 over 2}rho v^{2}AC_{mathrm {d} }=0 .} وبحل المعادلة في v ينتج
2
m
g
ρ
A C
d
.
{displaystyle {sqrt {frac {2mg}{rho AC_{mathrm {d} }}}} .} حيث Vt = السرعة الختامية, m = كتلة الجسم الساقط, g = عجلة الجاذبية الأرضية, Cd = معامل الإعاقة, ρ = كثافة المائع الذي يمر الجسم عبره, A = مساحة الجسم البارزة نحو المائع. تفاصيل اشتقاق معادلة السرعة
تفاصيل اشتقاق معادلة السرعة v كدالة في الزمن t معادلة الإعاقة
m
a
=
m
d v d t =
m
g
−
1
2
ρ v 2
A C
d
.
{displaystyle ma=m{frac {mathrm {d} v}{mathrm {d} t}}=mg-{frac {1}{2}}rho v^{2}AC_{mathrm {d} } .} وباستخدام التعويض k = 1⁄2ρACd.
بقسمة الطرفين على m
d v d t =
g
− k v 2 m

.
{displaystyle {frac {mathrm {d} v}{mathrm {d} t}}=g-{frac {kv^{2}}{m}} .} وبإعادة ترتيب المعادلة
d
t
=
d v
g
− k v 2 m
.
{displaystyle dt={frac {mathrm {d} v}{g-{frac {kv^{2}}{m}}}} .} بمكاملة الطرفين ∫ 0
t
d
t ′ = ∫ 0
v
d
v ′
g
− k v ′
2 m =
1
g ∫ 0
v
d
v ′
1
− α 2 v ′
2
,
{displaystyle int _{0}^{t}{mathrm {d} t^{prime }}=int _{0}^{v}{frac {mathrm {d} v^{prime }}{g-{frac {kv^{prime 2}}{m}}}}={1 over g}int _{0}^{v}{frac {mathrm {d} v^{prime }}{1-alpha ^{2}v^{prime 2}}} ,} حيثα = ( k⁄mg )1⁄2.
وبالتكامل ينتج:
t
−
0
=
1
g
[
ln
⁡
(
1
+
α v ′
)
2
α − ln
⁡
(
1
−
α v ′
)
2
α +
C ] v ′
=
0 v ′
=
v
=
1
g
[
ln
⁡ 1
+
α v ′
1
−
α v ′ 2
α +
C ] v ′
=
0 v ′
=
v
,
{displaystyle t-0={1 over g}left[{ln(1+alpha v^{prime }) over 2alpha }-{frac {ln(1-alpha v^{prime })}{2alpha }}+Cright]_{v^{prime }=0}^{v^{prime }=v}={1 over g}left[{ln {frac {1+alpha v^{prime }}{1-alpha v^{prime }}} over 2alpha }+Cright]_{v^{prime }=0}^{v^{prime }=v},} وبشكل أبسط
t
=
1 2
α
g ln
⁡ 1
+
α
v
1
−
α
v
.
{displaystyle t={1 over 2alpha g}ln {frac {1+alpha v}{1-alpha v}} .} من تعريف معكوس الظل الزائدي:
1
2
ln
⁡ 1
+
α
v
1
−
α
v = a
r
t
a
n
h (
α
v
)
{displaystyle {frac {1}{2}}ln {frac {1+alpha v}{1-alpha v}}=mathrm {artanh} (alpha v)} . وبالتالي يكون الحل
t
=
a
r
t
a
n
h (
α
v
)
α
g
,
{displaystyle t={frac {mathrm {artanh} (alpha v)}{alpha g}} ,} وبشكل آخر,
1
α
tanh
⁡
(
α
g
t
)
=
v

,
{displaystyle {frac {1}{alpha }}tanh(alpha gt)=v ,} مع tanh دالة الظل الزائدي . بافتراض أن g موجبة، وبالتعويض عن α, السرعة v تصبح
v
=
m
g k tanh
⁡ (
k m
g
g
t )
.
{displaystyle v={sqrt {frac {mg}{k}}}tanh left({sqrt {frac {k}{mg}}}gtright) .} وبعدها، عند k = 1⁄2ρACd تم تعويضها، السرعة v بالشكل المطلوب:
v
=
2
m
g
ρ
A C d
tanh
⁡ ( t
g
ρ
A C d
2
m ) ,
{displaystyle v={sqrt {frac {2mg}{rho AC_{d}}}}tanh left(t{sqrt {frac {grho AC_{d}}{2m}}}right),} عندما يؤول الزمن إلى مالانهاية ( ∞ → t ), يصبح الظل الزائدي 1, وينتح عنه السرعة الختامية 2
m
g
ρ
A C d

.
{displaystyle {sqrt {frac {2mg}{rho AC_{d}}}} .}

شرح مبسط

السرعة النهائية أو الختامية أو الحدية (بالإنجليزية: Terminal velocity)‏ هي السرعة العظمى الثابتة بسبب احتكاك الجسم بمادة مائعة مثل الهواء أو الماء.[1][2][3] وهي خاصية من خصائص الكمية المقيسة التي تصف درجة الإتقان في القياس