تعريف

Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grأ¶sse.pdf مقال برنارد ريمان حول عدد الأعداد الأولية الأصغر من عدد ما. دالة زيتا لريمان (خ¶(s هي دالة متغيرها عدد عقدي s&nbsp &nbsp &sigma &nbsp +&nbsp it (في هذا الإطار، s و &sigma هما الرمزان اللذان يسعملان عادة من أجل دراسة الدالة خ¶). متسلسلة (رياضيات) المتسلسلة غير المنتهية التالية تتقارب عندما يكون الجزء الحقيقي للعدد s أكبر قطعا من الواحد. حينئذ تعرف هاته المتسلسلة الدالة (خ¶(s.

zeta(s) sum_ n 1 ^infty n^ -s frac 1 1^s + frac 1 2^s + frac 1 3^s + cdots sigma mathfrak R (s) > 1. ! دالة زيتا لريمان معرفة امتداد تحليلي امتدادا تحليليا للدالة المعرفة بالمتسلسلة السابقة الذكر عندما يكون دƒ&nbsp > 1. درس ليونهارد أويلر هاته المتسلسلة في عام 1740 بالنسبة للأعداد الطبيعية قيما للعدد s، وبعد ذلك مدد بافنوتي تشيبيشيف تشيبيشيف الدراسة إلى جميع الأعداد الحقيقية الأكبر من الواحد s > 1. المتسلسلة أعلاه هي نموذج متسلسلة دركليه لمتسلسلة دركليه تقارب مطلق يتقارب مطلقا نحو دالة تحليلية بالنسبة إلى s حين يكون nowrap &sigma > 1 و متسلسلة متباعدة يتباعد بالنسبة لجميع القيم الأخرى ل s. برهن ريمان أن الدالة المعرفة على نصف المستوى حيث المتسلسلة أعلاه تتقارب، يمكن أن تُمدد تحليليا إلى جميع قيم s المخلفة عن الواحد. حين يكون s مساويا للواحد (s 1)، تصير المتساوية المعرفة أعلاه متسلسلة متناسقة المتسلسلة المتناسقة وهي متسلسلة تتباعد نحو مستقيم الأعداد الحقيقية الممتد +âˆ‍ و

lim_ s o 1 (s-1)zeta(s) 1.

هكذا، دالة زيتا لريمان هي دالة جزئية الشكل على المستوى العقدي كله، أي بمعنى أنها دالة تامة الشكل في المستوى العقدي كله باستثناء قطب (تحليل عقدي) القطب البسيط عند 1 ب الباقي (تحليل عقدي) باق مساوي ل1.

قيم خاصة

Zeta.png 300 دالة زيتا لريمان عندما يكون s حقيقيا ويكون أكبر قطعا من الواحد الصيغة التالية تنسب إلى أويلر وهي تعطي قيمة (خ¶(2k للأعداد الزوجية zeta(2k) frac (-1)^ k-1 B_ 2k (2pi)^ 2k 2(2k)! حيث B2k هي أعداد بيرنولي . لا توجد صيغة لحساب زيتا بالنسبة للأعداد الفردية. أما بالنسبة إلى الأعداد السالبة فيتوفر ما يلي

zeta(-n) -frac B_ n+1 n+1

حين يكون nowrap n ≥ 1 . هذا يؤدي إلى انعدام دالة زيتا لريمان بالنسبة لجميع الأعداد الزوجية السالبة لأن Bm 0 مهما كان m فرديا ومختلفا عن الواحد. هذه بعض القيم

zeta(0) -frac 1 2 !

zeta(1/2) approx -1.4603545! &nbsp تستعمل في الفيزياء،

zeta(1) 1 + frac 1 2 + frac 1 3 + cdots infty ! هي متسلسلة متناسقة المتسلسلة المتناسقة .

zeta(3/2) approx 2.612 ! &nbsp تستعمل في الفيزياء،

zeta(2) 1 + frac 1 2^2 + frac 1 3^2 + cdots frac pi^2 6 approx 1.645 ! &nbsp يعرف برهان هاته المتساوية ب معضلة بازل . مقلوب هذا المجموع (أي frac 6 pi^2 !) هو جواب السؤال التالي ما احتمال أن يكون عددان طبيعيان، اختيرا عشوائيا، أعداد أولية فيما بينها أوليين فيما بينهما ؟

zeta(3) 1 + frac 1 2^3 + frac 1 3^3 + cdots approx 1.2020569 ! &nbsp تسمى ثابتة أبيري .

zeta(4) 1 + frac 1 2^4 + frac 1 3^4 + cdots frac pi^4 90 approx 1.0823 ! تستعمل في الفيزياء.

خ¶(6) د€6/945 خ¶(8) د€8/9450

صيغة جداء أويلر

اكتشفت العلاقة بين دالة زيتا و عدد أولي الأعداد الأولية من طرف عالم الرياضيات ليونهارد أويلر الذي برهان صيغة جداء أويلر بالنسبة لدالة زيتا لريمان برهن على المتطابقة التالية (prime تعني عددا أوليا) frac 1 zeta(s) prod_ p mbox prime ^infty (1-p^ -s ). جداء أويلر .

المعادلة الدالية

دالة زيتا لريمان تحقق معادلة دالية المعادلة الدالية التالية (والتي قد تسمى أيضا معادلة ريمان الدالية)

zeta(s) 2^spi^ s-1 sin (frac pi s 2 ight) Gamma(1-s) zeta(1-s) !, حيث (خ“(s هي دالة غاما ، وهي متساوية دالة جزئية الشكل لدوال جزئية الشكل ، صالحة في المستوى العقدي كله. هذه المعادلة تربط قيمة زيتا لريمان عند النقطة s بقيمتها عند النقطة 1 - s . المعادلة الدالية (بسبب خصائص جيب (رياضيات) دالة الجيب ) تعني أن (&zeta (s لها جذورا بسيطة عند كل عدد صحيح زوجي سالب s -2n. تُعرف هاته الأعداد بالجذور بداهة (رياضيات) البديهية للدالة (&zeta (s. أُقيمت هاته المعادلة من طرف ريمان عام 1859 في مقاله حول عدد الأعداد الأولية الأصغر من عدد ما ، كما استعملها في انشاء امتداد تحليلي الامتداد التحليلي في أول الأمر. علاقة مكافئة لهاته المعادلة حُدست من طرف أويلر أكثر من قرن من الزمان من ذلك، في عام 1749، تتعلق ب دالة إيتا لدركليه (دالة زيتا المتناوبة)

eta(s) sum_ n 1 ^infty frac (-1)^ n+1 n^s (1- 2^ 1-s )zeta(s).

جذور دالة زيتا والمستقيم الحرج وفرضية ريمان

مقال تفصيلي فرضية ريمان Zero-free region for the Ri ann zeta-function.svg 300 باستثناء الجذور البديهية، ليس لدالة زيتا لريمان جذور على يمين المستقيم1 دƒ ولا على يسار المستقيم 0 دƒ، (بالإضافة إلى ذلك، فإن هذه الچذور ليست قريبة من هذين المستقيمين). وأيضا، الجذور غير البديهية متماثلة بالنسبة لمحور الأعداد الحقيقية الأفقي وبالنسبة إلى المستقيم العمودي دƒ 1/2. طبقا لفرضية ريمان، فإن هذه الجذور تقع كلها على المستقيم دƒ 1/2 والمسمى بالمستقيم الحرج..

حدسيات هاردي-ليتلوود

في عام 1914، برهن غودفري هارولد هاردي على أن zetaigl( frac 1 2 +itigr) لها عدد غير منته من الجذور.

حدسية سيلبرغ

في عام 1942، بحث أتل سيلبرغ معضلة هاردي-ليتلوود الثانية.

نتائج أخرى

خصائص دالة زيتا

المقلوب

مقلوب دالة زيتا يمكن أن يُعبر عنه بواسطة متسلسلة دركليه ، المعرفة ب دالة موبيوس (خ¼(n.

frac 1 zeta(s) sum_ n 1 ^infty frac mu(n) n^s ! بالنسبة لجميع الأعداد العقدية s، ذات جزء حقيقي أكبر قطعا من الواحد. انظر إلى دالة جداءية .

تقدير للقيمة القصوى لمنظم دالة زيتا

عمدة دالة زيتا لريمان

تمثيلات

تحويل ميلين

تحويل ميلين لدالة ما (f(x يُعرف كما يلي

int_0^infty f(x)x^ s-1 , dx,

دوال ثيتا

متسلسلة لورنت

دالة زيتا لريمان هي دالة جزئية الشكل لها قطب (تحليل عقدي) قطب بسيط من الدرجة الأولى عند s 1. هكذا، يمكن لها أن تنشر ك متسلسلة لورنت عندما يقترب s من الواحد.

zeta(s) frac 1 s-1 +sum_ n 0 ^infty frac (-1)^n n! gamma_n (s-1)^n.

الحد الثابت خ³0 هو ثابتة أويلر-ماسكيروني .

التكامل

جداء هادامار

انظر إلى جداء غير منته وإلى مبرهنة التعميل لويرستراس . المتسلسلة المتقاربة عموما

تطبيقات

تعميميات

هناك عدد من الدوال الزائية التي يمكن أن تعتبر تعميمات لدالة زيتا لريمان. منها دالة زيتا لهورفيتز المعرفة كما يلي

zeta(s,q) sum_ k 0 ^infty frac 1 (k+q)^s

معلومات إضافية

إذا كانت حدسية ميرتنز صحيحة، فإن فرضية ريمان صحيحة و أنه لا يوجد أي جذر غير بسيط لدالة زيتا ( أي أنه لا يوجد أي جذر ذي درجة تساوي أو تفوق 2). و لكنه رغم أن حدسية ميرتنز خاطئة، فإنه لا يزال يعتقد أن فرضية ريمان صحيحة و أن جذور دالة زيتا بسيطة (أي أن درجات هاته الجذور لا تساوي و لا تفوق 2) 2005 Complex zeta تصغير 300 دالة زيتا ل ريمان (خ¶(s في المستوى العقدي . لون كل نقطة يمثل قيمة الدالة (خ¶(s. الألوان المظلمة تمثل قيما قريبة من الصفر بينما مثلت الأعداد الحقيقية الموجبة باللون الأحمر دالة زيتا لريمان (اِقْتِرانُ ريمان الزَّائِيُّ حسب مجمع اللغة العربية بالقاهرة) وقد تسمى أيضا دالة زيتا لأويلر-ريمان إنك Ri ann zeta function هي دالة رياضية دالة متغيرها عدد مركب عدد عقدي s، امتداد تحليلي تمدد تحليليا مجموع متسلسلة (رياضيات) المتسلسلة غير المنتهية sum_ n 1 ^inftyfrac 1 n^s ,، التي تتقارب حين يكون عدد مركب الجزء الحقيقي للعدد s أكبر قطعا من الواحد. و تلعب دالة زيتا لريمان دورا أساسيا في نظرية الأعداد التحليلية ، ولها تطبيقات في الفيزياء و نظرية الاحتمالات و إحصاء الإحصاء التطبيقية. هاته الدالة في صيغتها حيث المتغير يكون حقيقيا بدلا من مركب، اخترعت ودرست من طرف ليونهارد أويلر في النصف الأول من القرن الثامن عشر، بدون استعمال تحليل عقدي التحليل العقدي الذي لم يكن موجودا في ذلك الوقت. برنارد ريمان ، في كتابه حول عدد الأعداد الأولية الأصغر من عدد ما ، الذي نُشر في عام 1859، مدد تعريف أويلر إلى الأعداد المركبة، ثم برهن على كونها دالة جزئية الشكل ، ووجد معادلة دالية تحققها هاته الدالة، ثم وجد علاقة تربط جذورها مبرهنة الأعداد الأولية بتوزيع الأعداد الأولية . قيم دالة زيتا لريمان عند الأعداد الطبيعية الزوجية حُسبن من طرف أويلر. أولها هو (خ¶(2، أعطى حلحلة معضلة بازل لمعضلة بازل . في عام 1979، برهن غوجي أبيري على كون (خ¶(3 عددا غير جذري. قيم الدالة عند الأعداد الصحيحة السالبة، اللائي حُسبن أيضا من طرف أويلر، هي عدد كسري أعداد جذرية تلعب دورا مهما في نظرية شكل نمطي الأشكال النمطية . تعرف حاليا العديد من التعميمات لدالة زيتا لريمان، منها متسلسلة دركليه و دالة دركليه اللامية و دالة لامية الدوال اللامية .