تم النشر اليوم 2024/06/16 | انحراف معياري

مثال على حساب الانحراف المعياري

سنأخذ هذا المثال البسيط على حساب الانحراف المعياري لكل من الرقمين 8 و4. الخطوة 1: احسب المتوسط حسابي للرقمين. (
4
+
8
) / 2
=
6
{displaystyle (4+8)/2=6}
الخطوة 2: احسب انحراف كل من الرقمين السابقين عن المتوسط حسابي.
4
−
6
=
−
2
{displaystyle 4-6=-2} 8
−
6
=
2
{displaystyle 8-6=2} الخطوة 3: قم بتربيع الانحرافين: (
−
2 ) 2
=
4
{displaystyle (-2)^{2}=4} و (
2 ) 2
=
4
{displaystyle (2)^{2}=4}
الخطوة 4: اجمع التربيعين الناتجين: 4
+
4
=
8
{displaystyle 4+4=8}
الخطوة 5: قم بتقسيم الناتج على عدد القيم (وهو في مثالنا 2): 8 / 2
=
4
{displaystyle 8/2=4}
الخطوة 6: قم بإيجاد الجذر التربيعي الموجب: 4
=
2
{displaystyle {sqrt {4}}=2}
إذًا الانحراف المعياري هو 2.

التشتت

لشرح معنى التشتت يمكن أن نقدم المثال البسيط التالي:
بالنظر للمفردات: 9، 10، 11 فأن وسطها الحسابي هو 10 وهو أفضل قيمة تصلح لتمثيل هذه المجموعة، لكن بالنظر إلى: 8، 10، 12 فإن وسطهم الحسابي هو أيضا 10 وكذلك 6، 10، 14 أي أن الوسط الحسابي فقط لا يكفي لتعريف مجموعة البيانات تعريفا دقيقا بل نحتاج لمعيار إضافي يوضح مدى تشتت هذه البيانات حول الوسط الإحصائي ولذلك اقترح الإحصائيون إدخال مفهوم الانحراف المعياري وغيره من الاصطلاحات التي تعبر عن مدى تشتت البيانات.

حساب الانحراف المعياري لمتغير

لمتغير عشوائي متقطع
نفرض أن لدينا عدد من القياسات (أو المتغيرات) x 1
,
…
, x N {displaystyle scriptstyle x_{1},dots ,x_{N}} ، يعطى الانحراف المعياري لهذه القياسات بالعلاقة: σ
=
1
N ∑ i
=
1
N
( x i
−
x
¯ ) 2
.
{displaystyle sigma ={sqrt {{frac {1}{N}}sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{overline {x}})^{2}}}.} حيث أن N هو عدد القياسات (المتغيرات). ويمكن تبسيط العبارة السابقة إلى التالي: σ
=
1
N (
∑ i
=
1
N x i
2
−
N x
¯ 2 ) {displaystyle sigma ={sqrt {{frac {1}{N}}left(sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}-N{overline {x}}^{2}right)}}} يمكن البرهنة على ذلك بواسطة العملية الجبرية التالية:
∑ i
=
1
N
( x i
−
x
¯ ) 2 = ∑ i
=
1
N
( x i
2
−
2 x i
x
¯
+ x
¯ 2
)
= (
∑ i
=
1
N x i
2 ) − ( 2
x
¯ ∑ i
=
1
N x i ) +
N x
¯ 2
= (
∑ i
=
1
N x i
2 ) −
2
x
¯
(
N
x
¯
)
+
N x
¯ 2
= (
∑ i
=
1
N x i
2 ) −
2
N x
¯ 2
+
N x
¯ 2
= (
∑ i
=
1
N x i
2 ) −
N x
¯ 2
.
{displaystyle {begin{aligned}sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{overline {x}})^{2}&={}sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{2}-2x_{i}{overline {x}}+{overline {x}}^{2})\&{}=left(sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}right)-left(2{overline {x}}sum _{i=1}^{N}x_{i}right)+N{overline {x}}^{2}\&{}=left(sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}right)-2{overline {x}}(N{overline {x}})+N{overline {x}}^{2}\&{}=left(sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}right)-2N{overline {x}}^{2}+N{overline {x}}^{2}\&{}=left(sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}right)-N{overline {x}}^{2}.end{aligned}}}
بما أن علم الإحصاء يحلل ويعرض البيانات المتفرقة بحيث تكون ذات معنى معين أو تعطي انطباعا معينًا فان تباين هذه البيانات يمثل مشكلة كبيرة في فهم سلوك البيانات. لمتغير عشوائي متصل
الانحراف المعياري لمتغير عشوائي متصل ذي قيم حقيقية X دالة كثافته الاحتمالية هي (p(x هو σ
= ∫

(
x
−
μ ) 2 p
(
x
) d
x
,

{displaystyle sigma ={sqrt {int _{mathbf {X} }(x-mu )^{2},p(x),dx}},{rm { }}} حيث μ
= ∫

x p
(
x
) d
x
{displaystyle mu =int _{mathbf {X} }x,p(x),dx}

التاريخ

استخدم مصطلح الانحراف المعياري لأول مرة في عام 1894 من قبل كارل بيرسون وقد استخدم هذا المصطلح في محاضراته. جاء هذا الاسم بديلا للأسماء المقترحة لنفس الفكرة مثل انحراف المتوسط الحسابي المستخدم من قبل كارل غاوس.

شرح مبسط

في الإحصاء ونظرية الاحتمالات، يعتبر الانحراف المعياري (بالإنجليزية: Standard deviation)‏ القيمة الأكثر استخداما من بين مقاييس التشتت الإحصائي لقياس مدى التبعثر الإحصائي، أي أنه يدل على مدى امتداد مجالات القيم ضمن مجموعة البيانات الإحصائية.[1][2][3] عادة ما يرمز إلى الانحراف المعياري بالحرف الإغريقي الصغير σ.