تم النشر اليوم 2024/06/16 | متفاوتة هوغنس

إثبات باستخدام المشتقة

لتكن الدالة العددية الحقيقية f للمتغير الحقيقي x، والمعرفة على المجال I
= [
0 ;
π
2 [ {displaystyle I=left[{0};{frac {pi }{2}}right[} بما يلي: f
(
x
)
=
2
×
sin
⁡ x +
tan
⁡ x −
3
x
{displaystyle f(x)=2times sin {x}+tan {x}-3x} f قابلة للاشتقاق على I
{displaystyle I} و لكل x من I
{displaystyle I} :
f
′ (
x
)
= 2 cos 3
⁡
x
−
3 cos 2
⁡
x
+
1 cos 2
⁡ x
= (
cos
⁡
x
−
1 ) 2
(
2
cos
⁡ x +
1
) cos 2
⁡ x
{displaystyle f'(x)={frac {2cos ^{3}x-3cos ^{2}x+1}{cos ^{2}{x}}}={frac {(cos x-1)^{2}(2cos {x}+1)}{cos ^{2}{x}}}} . و بما أن ∀
x
cos 2
⁡
x
>
0
{displaystyle forall x,cos ^{2}x>0} و ∀
x (
cos
⁡
x
−
1 ) 2
(
2
cos
⁡ x +
1
)
≥
0
{displaystyle forall x,(cos x-1)^{2}(2cos {x}+1)geq 0} . فإن، ∀
x
∈ [
0 ;
π
2 [ , f
′ (
x
)
≥
0
{displaystyle forall xin left[{0};{frac {pi }{2}}right[,f'(x)geq 0} ، و منه f تزايدية على I
{displaystyle I} ، و بما أن: f
(
0
)
=
0
{displaystyle f(0)=0} فإن: ∀
x
∈ [
0 ;
π
2 [ ,
f
(
x
)
≥
0
⇔
∀
x
∈ [
0 ;
π
2 [ ,
2
sin
⁡
x
+
tan
⁡
x
≥
3
x
{displaystyle forall xin left[{0};{frac {pi }{2}}right[,f(x)geq 0Leftrightarrow forall xin left[{0};{frac {pi }{2}}right[,2sin x+tan xgeq 3x} .

شرح مبسط

متفاوتة هوغنس هي نتيجة رياضية تنص على أنه، في المجال

[

0

;

π
2

[

{displaystyle left[{0};{frac {pi }{2}}right[}

من

R

{displaystyle mathbb {R} }

، المتفاوتة التالية محققة:

∀
x
∈

[

0

;

π
2

[

,
x
≤

2
3

⋅
sin
⁡
x
+

1
3

⋅
tan
⁡
x

{displaystyle forall xin left[{0};{frac {pi }{2}}right[,xleq {frac {2}{3}}cdot sin x+{frac {1}{3}}cdot tan x}

.