تم النشر اليوم 2024/06/11 | دالتا الجزء الصحيح والمتمم الصحيح الأعلى

الرموز المستعملة

استعمل كارل فريدريش غاوس في عام 1808 رمز المعقوفتين [x] للدلالة على الجزء الصحيح في برهانه الثالث لمبرهنة التربيعية التبادلية. بقي هذا الرمز هو المرجع حتى أدخل كينيث ايفرسون في عام 1962 الكلمتين الإنجليزيتين Floor و Ceiling مع الرمزين الدالين عليهما ⌋
{displaystyle rfloor } x ⌊
{displaystyle lfloor } و ⌉
{displaystyle rceil } x ⌈
{displaystyle lceil } في كتاب له تحت عنوان لغة البرمجة (A Programming Language). أمثلة
قيمة ما ل x الجزء الصحيح ⌊
x
⌋
{displaystyle lfloor xrfloor } السقف ⌈
x
⌉
{displaystyle lceil xrceil } الجزء الكسري {
x
}
{displaystyle {x}}
12/5 = 2.4 2 3 2/5 = 0.4
2.7 2 3 0.7
−
2.7
{displaystyle -2.7} −
3
{displaystyle -3} −
2
{displaystyle -2} 0.3
−
2
{displaystyle -2} −
2
{displaystyle -2} −
2
{displaystyle -2} 0

تطبيقات

ثابتة أويلر
هناك صيغ رياضياتية تتعلق بثابتة أويلر-ماسكيروني γ = 0.57721 56649 … تحتوي على دالتي الجزء الصحيح والسقف. على سبيل المثال γ
= ∫ 1
∞ ( 1 ⌊
x
⌋ −
1
x )
d
x
,
{displaystyle gamma =int _{1}^{infty }left({1 over lfloor xrfloor }-{1 over x}right),dx,}
γ
= lim n
→
∞
1
n
∑ k
=
1
n (
⌈
n
k
⌉ −
n
k ) ,
{displaystyle gamma =lim _{nto infty }{frac {1}{n}},sum _{k=1}^{n}left(leftlceil {frac {n}{k}}rightrceil -{frac {n}{k}}right),}
و γ
= ∑ k
=
2
∞
(
−
1 ) k ⌊
log 2
⁡
k ⌋ k
= 1
2 − 1
3 +
2 (
1
4 − 1
5 + 1
6 − 1
7
) +
3 (
1
8 −
⋯
− 1
15
) +
…
{displaystyle gamma =sum _{k=2}^{infty }(-1)^{k}{frac {leftlfloor log _{2}krightrfloor }{k}}={tfrac {1}{2}}-{tfrac {1}{3}}+2left({tfrac {1}{4}}-{tfrac {1}{5}}+{tfrac {1}{6}}-{tfrac {1}{7}}right)+3left({tfrac {1}{8}}-dots -{tfrac {1}{15}}right)+dots }
معضلات حلت
طرح رامانجن المعضلة التالية لجريدة للجمعية الرياضياتية الهندية. إذا كان n عددا صحيحا موجبا، أثبت أن: (i)
⌊ n
3 ⌋ + ⌊
n
+
2 6 ⌋ + ⌊
n
+
4 6 ⌋ = ⌊ n
2 ⌋ + ⌊
n
+
3 6 ⌋ ,
{displaystyle leftlfloor {tfrac {n}{3}}rightrfloor +leftlfloor {tfrac {n+2}{6}}rightrfloor +leftlfloor {tfrac {n+4}{6}}rightrfloor =leftlfloor {tfrac {n}{2}}rightrfloor +leftlfloor {tfrac {n+3}{6}}rightrfloor ,} (ii)
⌊
1
2 +
n
+ 1
2
⌋ = ⌊
1
2 +
n
+ 1
4
⌋ ,
{displaystyle leftlfloor {tfrac {1}{2}}+{sqrt {n+{tfrac {1}{2}}}}rightrfloor =leftlfloor {tfrac {1}{2}}+{sqrt {n+{tfrac {1}{4}}}}rightrfloor ,} (iii)
⌊ n
+
n
+
1 ⌋ = ⌊
4
n
+
2
⌋ .
{displaystyle leftlfloor {sqrt {n}}+{sqrt {n+1}}rightrfloor =leftlfloor {sqrt {4n+2}}rightrfloor .} معضلات لم تحل بعد
انظر إلى معضلة ويرينغ.

شرح مبسط

في الرياضيات وفي علم الحاسوب، دالتا الجزء الصحيح والمتمم الصحيح الأعلى، (بالإنجليزية: Floor and ceiling functions)‏ تربطا عددا حقيقيا ما بأكبر عدد صحيح سابق أو أصغر عدد صحيح تابع على التوالي، حيث: