تم النشر اليوم 2024/06/06 | تجزئة مجموعة

التعريف

لتكن M مجموعة ما. J مجموعة من أجزاء M . نقول أن J تجزئة ل M إذا كان: كل عنصر من J مجموعة غير فارغة.
اتحاد عناصر J يساوي M
عناصر J مجموعات منفصلة (غير متقاطعة) مثنى مثنى.
عناصر J تسمى أجزاء التجزئة.

علاقة الترتيب على تجزئات مجموعة

M مجموعة ما. J وI تجزئتين لM. نقول أن J أدق من I ونكتب J < I إذا كان كل عنصر من J جزء من أحد عناصرI. < تعرف علاقة ترتيب جزئية على مجموعة تجزئات M. مثال { {1}, {2}, {3} }= J أدق من { {1}, {2, 3} }= I.

التجزئات وعلاقات التكافؤ

أمثلة

M مجموعة ما. { J = { M تجزئة ل M.
المجموعة { M = {1, 2, 3 لها 5 تجزئات:
– { {1, 2, 3} }, – { {1, 2}, {3} }, – { {1, 3}, {2} }, – { {1}, {2, 3} }, – { {1}, {2}, {3} } { {}, {1,3}, {2} } ليست تجزئة لأنها تضم مجموعة فارغة، * { {1, 2}, {2, 3} } ليست تجزئة لأن العناصر {1, 2} و{2, 3} متقاطعة,
{ {1}, {2} } ليست تجزئة لأن العناصر لا تغطي M كليا.

عدد تجزئات مجموعة منتهية

يسمى عدد بيل Bn، عدد تجزءات مجموعة منتهية من n عنصر. مثال: B0 = 1, B0 = 1, B2 = 2, B3 = 5, B4 = 15, B5 = 52, B6 = 203 الدالة الأسية المولدة للمتتالية Bn هي:
∑ n
=
0
∞ B n n
!
z n
= e
e z
−
1
.
{displaystyle sum _{n=0}^{infty }{frac {B_{n}}{n!}}z^{n}=e^{e^{z}-1}.} . كما تحقق Bn علاقة الترجع التالية B n
+
1
= ∑ k
=
0
n (
n
k
)
B k
{displaystyle B_{n+1}=sum _{k=0}^{n}{n choose k}B_{k}}

شرح مبسط

تجزئة مجموعة M هي مجموعة من أجزاء M، غير فارغة وغير متقاطعة، تغطي M كليا.[1][2][3]