تم النشر اليوم 2024/06/16 | متعدد حدود لاغرانج

تقدير الخطأ في الاستكمال بكثيرات حدود لاغرانج

نظرية (2) إذا كان لدينا x0,x1,…….,xn أرقام مختلفة في الفترة [a,b] وكانت الدالة [ Cn+1 [a,b ∋ متصلة ولها مشتقات حتى الرتبة n+1 . ولكل[ x∈[a, b يوجد عدد [ γ(x)∈[a, b يقع بين x0,x1,…….,xn بحيث يكون (f(x) – Pn (x) | = ((f(n+1) (γ(x))) / (n+1)!) (x-x0) (x-x1) …. (x-xn| حيث (Pn(x كثيرة حدود لاغرانج الاستكمالية.

كثيرة حدود لاغرانج الاستكمالية

المشكلة هي في إيجاد كثيرة حدود من الدرجة الأولى تمر في النقطة (x1, y1), (x0 , y0) هو نفس تقريب الدالة f لـ f(x0)= y0 وf(x1) = y1 عن طريقة أو درجة استكمال كثيرة الحدود أو نفس قيم f عند نقاط معينة من نقاط النهاية ويسمى كثيرة حدود إستكمالية. (L0(x)=(x-x1) / (x0-x1 وَ (L1(x)= (x-x0) / (x1-x0 ((p(x) = L0(x) f(x) + L1(x1) f(x1) = ((x-x1) / (x0-x1)) f(x1) + ((x-x0) / (x1-x0

ضمان وجود كثيرة الحدود الاستكمالية

نظرية التقريب لفير ستراس لنفرض أن ƒ مغلقة ومتصلة على الفترة [a,b] لكل ε>0، يوجد كثيرة حدود (×)p تحقق الخاصية [f(x) – p(x) | < ɛ, ∀ x ∈[a,b|

تعريف

ليكن لدينا مجموعة k+1 من النقاط. ( x 0
, y 0
)
,
…
,
( x k
, y k
)
{displaystyle (x_{0},y_{0}),ldots ,(x_{k},y_{k})}
حيث لا تتساوى أي xj لأي نقطتين، فيكون استيفاء كثير الحدود بطريقة لاغرانج هو التركيبة الخطية L
(
x
)
= ∑ j
=
0
k y j ℓ j
(
x
)
{displaystyle L(x)=sum _{j=0}^{k}y_{j}ell _{j}(x)}
لكثيرات حدود لاغرانج الأساسية
ℓ j
(
x
)
= ∏ i
=
0
, i
≠
j
k x
− x i x j
− x i = (
x
− x 0
)
( x j
− x 0
) ⋯ (
x
− x j
−
1
)
( x j
− x j
−
1
)
(
x
− x j
+
1
)
( x j
− x j
+
1
) ⋯ (
x
− x k
)
( x j
− x k
) .
{displaystyle ell _{j}(x)=prod _{i=0,,ineq j}^{k}{frac {x-x_{i}}{x_{j}-x_{i}}}={frac {(x-x_{0})}{(x_{j}-x_{0})}}cdots {frac {(x-x_{j-1})}{(x_{j}-x_{j-1})}}{frac {(x-x_{j+1})}{(x_{j}-x_{j+1})}}cdots {frac {(x-x_{k})}{(x_{j}-x_{k})}}.}

مثال

أوجدي كثيرة الحدود الخطية للاغرانج الاستكمالية المارة في النقطة (4 , 2), (1 , 5) ؟! المطلوب إيجاد كثيرة حدود خطية أي تكون كثيرة الحدود من الدرجة الأولى ويكون إيجادها باستخدام نقطتين وتكون على الصورة ليكن لدينا n
=
2
{displaystyle n=2} وكان المطلوب إيجاد كثير الحدود باستكمال لاغرانج المار من النقطتين
P 0
(
5
,
1
)
, P 1
(
2
,
4
)
{displaystyle P_{0}(5,1),P_{1}(2,4)} . التابع كثير حدود من الدرجة الأولى يعني هو مستقيم يمر بالنقطتين ويمكن استخدام صيغة لاغرانج لإيجاد المعاملات
L 0
(
x
)
, L 1
(
x
)
{displaystyle L_{0}(x),L_{1}(x)} :
L 0
(
x
)
= x
− x 1 x 0
− x 1 = x
−
5
2
−
5 = x
−
5
−
3 .
{displaystyle L_{0}(x)={frac {x-x_{1}}{x_{0}-x_{1}}}={frac {x-5}{2-5}}={frac {x-5}{-3}}.}
P 1
(
x
)
=
4 x
−
5
−
3 +
1 x
−
2 3
=
−
x
+
6.
{displaystyle P_{1}(x)=4{frac {x-5}{-3}}+1{frac {x-2}{3}}=-x+6.}

شرح مبسط

كثير حدود لاغرانج أو متعدد حدود لاغرانج (بالإنجليزية: Lagrange polynomial)‏ في التحليل العددي هو استيفاء كثير الحدود لمجموعة محددة من النقاط بطريقة لاغرانج.[1] اكتشف أولا بواسطة إدوارد ويرينغ في عام 1779 ثم أعيد اكتشافه من قبل ليونهارد أويلر في عام 1783.