الوصف

تعتمد طريقة جاوس سيدل على طريقة تكرارية أسلوب التكرار لحل معادلات خطية عددها n بمجهول x.

Amathbf x mathbf b

وتعرّف بالتكرار

L_* mathbf x ^ (k+1) mathbf b - U mathbf x ^ (k) ,

بحيث


mathbf x ^ (k) هو التكرار أو التقريب رقم < >k لـmathbf x ,,mathbf x ^ k+1 هو التكرار رقم < >k + 1 لـmathbf x .





وبالتفصيل

A egin bmatrix a_ 11 & a_ 12 & cdots & a_ 1n a_ 21 & a_ 22 & cdots & a_ 2n vdots & vdots & ddots & vdots a_ n1 & a_ n2 & cdots & a_ nn end bmatrix , qquad mathbf x egin bmatrix x_ 1 x_2 vdots x_n end bmatrix , qquad mathbf b egin bmatrix b_ 1 b_2 vdots b_n end bmatrix .

A L_*+U qquad ext where qquad L_* egin bmatrix a_ 11 & 0 & cdots & 0 a_ 21 & a_ 22 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots a_ n1 & a_ n2 & cdots & a_ nn end bmatrix , quad U egin bmatrix 0 & a_ 12 & cdots & a_ 1n 0 & 0 & cdots & a_ 2n vdots & vdots & ddots & vdots & 0 & cdots & 0 end bmatrix .

ومن ثم يمكن كتابة نظام المعادلات الخطية كما يلي

L_* mathbf x mathbf b - U mathbf x

mathbf x ^ (k+1) L_*^ -1 (mathbf b - U mathbf x ^ (k) ).

x^ (k+1) _i frac 1 a_ ii (b_i - sum_ ji a_ ij x^ (k) _j
ight),quad i,j 1,2,ldots,n. harvnb Golub Van Loan 1996 loc eqn (10.1.3) .

مثال

A mathbf x mathbf b

A

egin bmatrix


16 & 3


7 & -11


end bmatrix


and b
egin bmatrix


11


13


end bmatrix .




نحتاج لاستخدام المعادلة

mathbf x ^ (k+1) L_*^ -1 (mathbf b - U mathbf x ^ (k) )

في صورة

mathbf x ^ (k+1) T mathbf x ^ (k) + C

حيث

T - L_*^ -1 U وC L_*^ -1 mathbf b .

يجب أن نحلل المصفوفة A_ ^ إلى مجموع L_*^ وU_ ^

L_*

egin bmatrix


16 & 0


7 & -11


end bmatrix


و U
egin bmatrix


0 & 3


0 & 0


end bmatrix .
ومعكوس L_*^ هو

L_*^ -1

egin bmatrix


16 & 0


7 & -11


end bmatrix ^ -1





egin bmatrix


0.0625 & 0.0000


0.0398 & -0.0909


end bmatrix


.

نستطيع الآن إيجاد

T -

egin bmatrix


0.0625 & 0.0000


0.0398 & -0.0909


end bmatrix


imes


egin bmatrix


0 & 3


0 & 0


end bmatrix





egin bmatrix


0.000 & -0.1875


0.000 & -0.1193


end bmatrix ,

C

egin bmatrix


0.0625 & 0.0000


0.0398 & -0.0909


end bmatrix


imes


egin bmatrix


11


13


end bmatrix





egin bmatrix


0.6875


-0.7443


end bmatrix .

بذلك نكون قد حصلنا على T_ ^ وC_ ^

نفرض

x^ (0)

egin bmatrix


1.0


1.0


end bmatrix .
ثم يمكننا أن نحسب

x^ (1)

egin bmatrix


0.000 & -0.1875


0.000 & -0.1193


end bmatrix


imes


egin bmatrix


1.0


1.0


end bmatrix


+


egin bmatrix


0.6875


-0.7443


end bmatrix





egin bmatrix


0.5000


-0.8636


end bmatrix .

x^ (2)

egin bmatrix


0.000 & -0.1875


0.000 & -0.1193


end bmatrix


imes


egin bmatrix


0.5000


-0.8636


end bmatrix


+


egin bmatrix


0.6875


-0.7443


end bmatrix





egin bmatrix


0.8494


-0.6413


end bmatrix .

x^ (3)

egin bmatrix


0.000 & -0.1875


0.000 & -0.1193


end bmatrix


imes


egin bmatrix


0.8494


-0.6413


end bmatrix


+


egin bmatrix


0.6875


-0.7443


end bmatrix





egin bmatrix


0.8077


-0.6678


end bmatrix .

x^ (4)

egin bmatrix


0.000 & -0.1875


0.000 & -0.1193


end bmatrix


imes


egin bmatrix


0.8077


-0.6678


end bmatrix


+


egin bmatrix


0.6875


-0.7443


end bmatrix





egin bmatrix


0.8127


-0.6646


end bmatrix .

x^ (5)

egin bmatrix


0.000 & -0.1875


0.000 & -0.1193


end bmatrix


imes


egin bmatrix


0.8127


-0.6646


end bmatrix


+


egin bmatrix


0.6875


-0.7443


end bmatrix





egin bmatrix


0.8121


-0.6650


end bmatrix .

x^ (6)

egin bmatrix


0.000 & -0.1875


0.000 & -0.1193


end bmatrix


imes


egin bmatrix


0.8121


-0.6650


end bmatrix


+


egin bmatrix


0.6875


-0.7443


end bmatrix





egin bmatrix


0.8122


-0.6650


end bmatrix .

x^ (7)

egin bmatrix


0.000 & -0.1875


0.000 & -0.1193


end bmatrix


imes


egin bmatrix


0.8122


-0.6650


end bmatrix


+


egin bmatrix


0.6875


-0.7443


end bmatrix





egin bmatrix


0.8122


-0.6650


end bmatrix .

وبذلك تكون قيمة x

mathbf x A^ -1 mathbf b egin bmatrix 0.8122 -0.6650 end bmatrix .

في جبر خطي عددي الجبر الخطي العددي ، طريقة جاوس سيدل المعروفة أيضًا بطريقة ليبمان، هي طريقة تكرارية تستخدم في حل نظام معادلات خطية نظم المعادلات الخطية . وسميت على اسم عالمي الرياضيات ألمانيا الألمانيين كارل فريدريش غاوس و فيليب فون لوديش سيدل . وذكرت فقط في رساله خاصة من جاوس إلى تلميذه كريستيان غيرلنغ عام 1823.




harvnb Gauss 1903 p 279 direct link. لكنها لم تنشر إلا من قبل سيدل عام 1874.