تم النشر اليوم 2024/06/02 | اختبارات تقارب متسلسلة

معيار كوشي الجذري

نبحث عن قيمة النهاية
k
= lim n
→
∞ a n n
{displaystyle k=lim _{nrightarrow infty }{sqrt[{n}]{a_{n}}}!} إذا كان k
<
1 {displaystyle k
1 {displaystyle k>1!} فالسلسلة متباعدة.
أما في حال k
=
1 {displaystyle k=1!} فنقول أن المعيار غير دي جدوى.

معيار المقارنة

نقارن حدود المتتالية { a n
} {displaystyle {a_{n}}!} بمتتالية أخرى { b n
} {displaystyle {b_{n}}!} بحيث من أجل أي n، إذا كان 0
≤
a n
≤
b n
{displaystyle 0leq a_{n}leq b_{n}} ، وكانت السلسلة
∑ n
=
1
∞ b n
{displaystyle sum _{n=1}^{infty }b_{n}} هي سلسلة متقاربة، فان
∑ n
=
1
∞ a n
{displaystyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}} متقاربة حتماً. أما إذا كان 0
≤
b n
≤
a n
{displaystyle 0leq b_{n}leq a_{n}} وكانت السلسلة
∑ n
=
1
∞ b n
{displaystyle sum _{n=1}^{infty }b_{n}} هي سلسلة متباعدة، فان السلسلة
∑ n
=
1
∞ a n
{displaystyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}} هي سلسلة متباعدة حتماً.

معيار دالامبير

من أجل كل القيم الموجبة لـ n وa_n، يوجد عدد L بحيث L
= lim n
→
∞ | a n
+
1 a n
| {displaystyle L=lim _{nrightarrow infty }left|{frac {a_{n+1}}{a_{n}}}right|}
إذا كان L
<
1
{displaystyle L1 فالسلسة متباعدة.
في حال كان L=1 فعندها يكون المعيار غير ذي جدوى. ويمكن استخدام معيار رابي Raabe.

معيار رابي

عندما lim n
→
∞ | a n
+
1 a n
| =
1
{displaystyle lim _{nrightarrow infty }left|{frac {a_{n+1}}{a_{n}}}right|=1} وإذا وجد عدد c
>
0 {displaystyle c>0!} بحيث
lim n
→
∞ n ( | a n
+
1 a n
| −
1 ) =
−
1
−
c
{displaystyle lim _{nrightarrow infty },nleft(,left|{frac {a_{n+1}}{a_{n}}}right|-1right)=-1-c}
فعندها نقول أن السلسلة مطلقة التقارب.

شرح مبسط

في التحليل الرياضي، نستخدم معايير التقارب للتحقق من تقارب سلسلة لامنتهية معطاة.[1][2][3]