تم النشر اليوم 2024/06/07 | موتر طاقة الوضع لتشاندراسخار

التعريف

يُعرَّف موتر طاقة الوضع لتشاندراسخار كما الآتي:
W i
j
=
−
1
2 ∫ V
ρ Φ i
j
d x = ∫ V
ρ x i ∂
Φ
∂ x j d x {displaystyle W_{ij}=-{frac {1}{2}}int _{V}rho Phi _{ij}dmathbf {x} =int _{V}rho x_{i}{frac {partial Phi }{partial x_{j}}}dmathbf {x} }
عندما يكون:
Φ i
j
( x )
=
G ∫ V
ρ
(
x
′
) ( x i
− x i ′ )
( x j
− x j ′ ) |
x −
x
′
|
3 d
x
′
, ⇒
Φ i
i
=
Φ
=
G ∫ V ρ
(
x
′
) |
x −
x
′ |
d
x
′
{displaystyle Phi _{ij}(mathbf {x} )=Gint _{V}rho (mathbf {x’} ){frac {(x_{i}-x_{i}’)(x_{j}-x_{j}’)}{|mathbf {x} -mathbf {x’} |^{3}}}dmathbf {x’} ,quad Rightarrow quad Phi _{ii}=Phi =Gint _{V}{frac {rho (mathbf {x’} )}{|mathbf {x} -mathbf {x’} |}}dmathbf {x’} }
بحيث: يعبّر G
{displaystyle G} عن ثابت الجاذبية.
يعبّر Φ
( x )
{displaystyle Phi (mathbf {x} )} عن جهد الجاذبية الذاتي من قانون نيوتن للجاذبية. Φ i
j
{displaystyle Phi _{ij}} هو النسخة المعممة من Φ
{displaystyle Phi } .
يعبّر ρ
( x )
{displaystyle rho (mathbf {x} )} عن توزع كثافة المادة.
يشير V
V إلى حجم الجسم.
من الواضح أنّ
W i
j
{displaystyle W_{ij}} هو موتر مماثل من تعريفه، وأثر موتر تشاندراسخار
W i
j
{displaystyle W_{ij}} ما هو إلا الطاقة الكامنة W
{displaystyle W} . W
= W i
i
=
−
1
2 ∫ V
ρ
Φ
d x = ∫ V
ρ x i ∂
Φ
∂ x i d x {displaystyle W=W_{ii}=-{frac {1}{2}}int _{V}rho Phi dmathbf {x} =int _{V}rho x_{i}{frac {partial Phi }{partial x_{i}}}dmathbf {x} }
وبذلك يمكن النظر لموتر تشاندراسخار على أنه تعميم للطاقة الكامنة (طاقة الوضع).

برهان تشاندراسخار

لنعتبر مادة ما كتلتها V
V وكثافتها ρ
( x )
{displaystyle rho (mathbf {x} )} ، بذلك يكون:
W i
j =
−
1
2 ∫ V
ρ Φ i
j
d x =
−
1
2
G ∫ V ∫ V
ρ
( x )
ρ
(
x
′
) ( x i
− x i ′ )
( x j
− x j ′ ) |
x −
x
′
|
3 d
x
′
d x =
−
G ∫ V ∫ V
ρ
( x )
ρ
(
x
′
)
x i
( x j
− x j ′ ) |
x −
x
′
|
3 d x d
x
′
=
G ∫ V
d x ρ
( x ) x i
∂ ∂ x j
∫ V
d
x
′ ρ
(
x
′
) |
x −
x
′ |
= ∫ V
ρ x i ∂
Φ
∂ x j d x {displaystyle {begin{aligned}W_{ij}&=-{frac {1}{2}}int _{V}rho Phi _{ij}dmathbf {x} \&=-{frac {1}{2}}Gint _{V}int _{V}rho (mathbf {x} )rho (mathbf {x’} ){frac {(x_{i}-x_{i}’)(x_{j}-x_{j}’)}{|mathbf {x} -mathbf {x’} |^{3}}}dmathbf {x’} dmathbf {x} \&=-Gint _{V}int _{V}rho (mathbf {x} )rho (mathbf {x’} ){frac {x_{i}(x_{j}-x_{j}’)}{|mathbf {x} -mathbf {x’} |^{3}}}dmathbf {x} dmathbf {x’} \&=Gint _{V}dmathbf {x} rho (mathbf {x} )x_{i}{frac {partial }{partial x_{j}}}int _{V}dmathbf {x’} {frac {rho (mathbf {x’} )}{|mathbf {x} -mathbf {x’} |}}\&=int _{V}rho x_{i}{frac {partial Phi }{partial x_{j}}}dmathbf {x} end{aligned}}}

موتر تشاندراسخار بالنسبة للجهد السلمي

يُعرّف الجهد السلمي كما الآتي: χ
( x )
=
−
G ∫ V
ρ
(
x
′
) |
x −
x
′ | d
x
′
{displaystyle chi (mathbf {x} )=-Gint _{V}rho (mathbf {x’} )|mathbf {x} -mathbf {x’} |dmathbf {x’} }
وقد برهن تشاندراسخار أنّ:ref>Chandrasekhar, Subrahmanyan. Ellipsoidal figures of equilibrium. Vol. 9. New Haven: Yale University Press, 1969.
W i
j
= δ i
j
W
+
∂ 2
χ
∂ x i
∂ x j {displaystyle W_{ij}=delta _{ij}W+{frac {partial ^{2}chi }{partial x_{i}partial x_{j}}}}
باعتبار i
=
j
{displaystyle i=j} فإننا نحصل على
∇ 2
χ
=
−
2
W
{displaystyle nabla ^{2}chi =-2W} ، وبالأخذ بمؤثر لابلاس مرة أخرى فإننا نحصل على
∇ 4
χ
=
8
π
G
ρ
{displaystyle nabla ^{4}chi =8pi Grho } .

شرح مبسط

يعبر موتر طاقة الوضع لتشاندراسخار في الفيزياء الفلكية طاقة عن طاقة الجاذبية الكامنة للجسم الناجمة عن جاذبيته والناشئة عن توزع كتلة جسمه. سُمِّيَت هذه الدالة على اسم عالم الفيزياء الفلكية الأمريكي الهندي سوبرامانين تشاندراسخار.[1][2][3] وبعبارة أخرى، يعتبر موتر تشاندراسخار تعميم لطاقة الوضع؛ يعطي تتبع موتر تشاندراسخار الطاقة الكامنة للجسم.