تم النشر اليوم 2024/06/06 | توزيع احتمالي طبيعي

تعريف

التوزيع الطبيعي الموسّط المختزل
تُعرف أبسط حالة من التوزيع الطبيعي باسم التوزيع الطبيعي الموسّط المختزل.
إنه حالة خاصة حيث μ
=
0
{displaystyle mu =0} و σ
=
1
{displaystyle sigma =1} .
نسمي التوزيع الطبيعي (أو غاوسي) موسّط مختزل التوزيع المعرّف بدالة الكثافة φ
varphi . الرسم البياني لهذه الكثافة يمثل شكل جرس. الدالّة φ
: R →
R
+
{displaystyle varphi :mathbb {R} to mathbb {R} ^{+}} بحيث φ
(
t
)
=
1 2 π
e
− t 2
2
{displaystyle varphi (t)={frac {1}{sqrt {2;pi }}},mathrm {e} ^{-{frac {t^{2}}{2}}}} هي دالة كثافة احتمالية: هي متواصلة وتكاملها على R {displaystyle mathbb {R} } يساوي 1. نعلم أن ∫ −
∞
+
∞
e
− t 2
2

d
t
=
2 π
{displaystyle int _{-infty }^{+infty }mathrm {e} ^{-{frac {t^{2}}{2}}} dt={sqrt {2,pi }}} تكامل غاوسي. ونبين أن (انظر التالي) التوزيع الذي يقع تحديده انطلاقاً من دالة الكثافة هذه
له قيمة متوقعة تساوى 0 وتباينا يساوي 0.

مبرهنة النهاية المركزية

المقالة الرئيسة: مبرهنة النهاية المركزية
كلما كبر عدد الأحداث المتقطعة، كلما زادت الدالة شبها للتوزيع الطبيعي
مقارنة دوال كثافة الاحتمال p (k) لمجموع n نرد سداسي الجوانب (زهر لعبة الطاولة) لإظهار تقاربها مع توزيع احتمالي طبيعي مع زيادة n ، وفقًا لنظرية الحد المركزي. في الرسم البياني السفلي الأيمن ، تم إعادة رسم المنحنيات جميعها ثم القيام بتتطابقها ومقارنتها بالتوزيع الطبيعي (المنحنى الأسود).
Z
=
n ( 1
n ∑ i
=
1
n
i ) {displaystyle Z={sqrt {n}}left({frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}X_{i}right)}

التاريخ

كارل فريدريش غاوس اكتشف التوزيع الطبيعي في عام 1809 أثناء عمله على طريقة المربعات الدنيا.
في عام 1733 وضع Abraham De Moivre نطريته الأولى حول التوزيع الطبيعي والتي كانت تعرف بـ Exponential bell-shaped curve بناءً على التقريب التقديري الذي وصل إليه من نظرية أحتمال رمي القطع المعدنيه عدة مرات وتوزيعها. في عام 1809 قام Carl Frieddrich Gauss بإطلاق النظرية الهامة وأسماها Normal distribuition (التوزيع الطبيعي) حيثم قام باستخدامها لحساب توقعات أماكن الهيئات الفلكية. ومنذ ذلك الحين أخذ هذا التوزيع أهميته وانتشاره وعرف أيضاً باسم Gaussian distribution “توزيع جاوسي”.

خصائص

التناظر والاشتقاق
لتوزيع طبيعي f
(
x
)
{displaystyle f(x)} متوسطه μ
{displaystyle mu } وانحرافه σ
{displaystyle sigma } الخصائص التالية: الكثافة φ
varphi متناظرة حول النقطة x
=
μ
{displaystyle x=mu } والتي تمثل في نفس الوقت، منوال التوزيع ووسيطه وقيمته المتوقعة.
أحادي المنوال.
يمكن اشتقاق هذه الدالة عدداً لا متناهياً من المرّات وتحقق مهما كان
t
∈ R {displaystyle tin mathbb {R} } المعادلة التالية
φ
′ (
t
)
=
−
t φ
(
t
)
{displaystyle varphi ‘(t)=-t,varphi (t)} .
القيم الأكثر تكراراً تقع في مركز التوزيع
كل من المتوسط، الوسيط، والمنوال يقع في مركز التوزيع
القيم البعيدة عن المتوسط ذات تكرار أقل
مجموع تكرارات القيم التي هي أكبر من المتوسط يساوي مجموع تكرارات القيم التي تحته
توجد علاقة معروفة بين نسبة المشاهدات (p) التي تقع ضمن مجال يبعد عن المتوسط بمقدار (z) من الانحرافات المعيارية
تحويل فورييه والدالة المميزة
تحويل فورييه لتوزيع طبيعي متوسطه μ
{displaystyle mu } وانحرافه σ
{displaystyle sigma } يعطي بالصيغة التالية:
ϕ
^ (
t
)
= ∫ −
∞
∞ f
(
x
) e i
t
x
d
x
= e i
μ
t e −
1
2
(
σ
t ) 2
{displaystyle {hat {phi }}(t)=int _{-infty }^{infty }!f(x)e^{itx}dx=e^{imu t}e^{-{frac {1}{2}}(sigma t)^{2}}}
حيث i
{displaystyle i} هو الوحدة التخيلية.

دالة التوزيع التراكمي

لتكن Φ
{displaystyle Phi } دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الموسّط المختزل. تحدد لكل عدد حقيقي x
{displaystyle x} بـ:
Φ
(
x
)
= ∫ −
∞
x
φ
(
t
) d
t
= ∫ −
∞
x
1 2 π
e
− t 2
2 d
t
{displaystyle Phi (x)=int _{-infty }^{x}varphi (t),dt=int _{-infty }^{x}{frac {1}{sqrt {2,pi }}},mathrm {e} ^{-{frac {t^{2}}{2}}},dt} .
وهي تكامل φ
varphi ونهايتها في −
∞
{displaystyle -infty } تساوي 0، ولا يمكن كتابتها باستعمال الدالات المعروفة (أس، جيب..) ولكن تصبح هي بنفسها دالة مستعملة بكثرة ومهمّة لكلّ من يمارس حساب الاحتمالات والإحصاء. خاصيات الدالة Φ
{displaystyle Phi } : قابلة للاشتقاق بعدد غير متناهي من المرّات و
Φ
′ =
φ
{displaystyle Phi ‘=varphi }
نامية حصرياً وتنتهي إلى 0 في −
∞
{displaystyle -infty } وإلى 1 في +
∞
{displaystyle +infty }

شرح مبسط

0 (في حالة توزيع طبيعي موسّط ومختزل)