تم النشر اليوم 2024/06/07 | طوبولوجيا التمديد

طوبولوجيا التمديد

افترض أن X فضاءً طوبولوجيًا وP مجموعة منفصلة عن X. ادرس X∪P الطوبولوجيا التي مجموعاتها المفتوحة بصيغة: A∪Q، حيث A مجموعة مفتوحة من X وQ مجموعة جزئية من P. لاحظ أن المجموعات المغلقة من X∪P تتخذ الصيغة: B∪Q، حيث B مجموعة مغلقة من X وQ مجموعة جزئية من P. لهذه الأسباب، يسمى هذا النوع من الطوبولوجيا طوبولوجيا التمديد من X بالإضافة إلى P، التي يمكن من خلالها أن نمد إلى X∪P المجموعات المفتوحة والمغلقة من X. لاحظ أن طوبولوجيا الفضاء الفرعي من X كمجموعة جزئية من X∪P هي الطوبولوجيا الأصلية من X، بينما طوبولوجيا الفضاء الفرعي من P كمجموعة جزئية من X∪P هي الطوبولوجيا المتقطعة. مع اعتبار Y فضاءً طوبولوجيًا و R مجموعة جزئية من Y، فقد يتم السؤال عما إذا كانت طوبولوجيا التمديد من Y – R بالإضافة لـ R هي نفسها كالطوبولوجيا الأصلية من Y، ولكن تكون الإجابة «لا» في العموم. لاحظ التشابه بين هذه البنية من طوبولوجيا التمديد وتمديد أليكسندروف، التي فيها يكون الفضاء الطوبولوجي X المراد ضغطه (رصه) بإضافة النقطة ∞ إلى اللانهاية، وتعتبر المجموعات المغلقة من X∪{∞} هي مجموعات بالصيغة: K، حيث K مجموعة مضغوطة (متراصة) مغلقة من X، أو B∪{∞}، حيث B مجموعة مغلقة من X.

طوبولوجيا التمديد المفتوح

افترض أن X فضاء طوبولوجي وP مجموعة منفصلة عن X. وانظر بعين الدراسة إلى X∪P الطوبولوجيا التي مجموعاتها المفتوحة بصيغة: X∪Q، حيث Q مجموعة جزئية من P، أو A، حيث A مجموعة مفتوحة من X. لهذه الأسباب يسمى هذا النوع من الطوبولوجيا طوبولوجيا التمديد المفتوح من X بالإضافة إلى P، التي يمكن من خلالها أن نمد إلى X∪P المجموعات المفتوحة من X. لاحظ أن طوبولوجيا الفضاء الفرعي من X كمجموعة جزئية من X∪P هي الطوبولوجيا الأصلية من X، بينما طوبولوجيا الفضاء الفرعي من P كمجموعة جزئية من X∪P هي الطوبولوجيا المتقطعة. لاحظ أن المجموعات المغلقة من X∪P تتخذ الصيغة: Q، حيث Q مجموعة جزئية من P، أو B∪P، حيث B مجموعة مغلقة من X. مع اعتبار Y فضاءً طوبولوجيًا و R مجموعة جزئية من Y، فقد يتم السؤال عما إذا كانت طوبولوجيا التمديد من Y – R بالإضافة لـ R هي نفسها كالطوبولوجيا الأصلية من Y، ولكن تكون الإجابة «لا» في العموم. لاحظ أن طوبولوجيا التمديد المفتوح من X∪P تكون أصغر من طوبولوجيا التمديد من X∪P. مع اعتبار Z مجموعة وp نقطة في Z، يمكن الحصول على بنية الطوبولوجيا الاستبعادية باعتبار الطوبولوجيا المتقطعة تكون في Z وتطبيق بنية طوبولوجيا التمديد المفتوح على Z – {p}، بالإضافة إلى p.

طوبولوجيا التمديد المغلق

افترض أن X فضاء طوبولوجي وP مجموعة منفصلة عن X. وانظر بعين الدراسة إلى X∪P الطوبولوجيا التي مجموعاتها المغلقة بصيغة: X∪Q، حيث Q مجموعة فرعية من P، أو B، حيث B مجموعة مغلقة من X. لهذه الأسباب يسمى هذا النوع من الطوبولوجيا طوبولوجيا التمديد المغلق من X بالإضافة إلى P، التي يمكن من خلالها أن نمد إلى X∪P المجموعات المغلقة من X. لاحظ أن طوبولوجيا الفضاء الفرعي من X كمجموعة جزئية من X∪P هي الطوبولوجيا الأصلية من X، بينما طوبولوجيا الفضاء الفرعي من P كمجموعة جزئية من X∪P هي الطوبولوجيا المتقطعة. لاحظ أن المجموعات المفتوحة من X∪P تتخذ الصيغة: Q، حيث Q مجموعة جزئية من P، أو A∪P، حيث A مجموعة مفتوحة من X. مع اعتبار Y فضاءً طوبولوجيًا و R مجموعة جزئية من Y، فقد يتم السؤال عما إذا كانت طوبولوجيا التمديد من Y – R بالإضافة لـ R هي نفسها كالطوبولوجيا الأصلية من Y، ولكن تكون الإجابة «لا» في العموم. لاحظ أن طوبولوجيا التمديد المغلق من X∪P تكون أصغر من طوبولوجيا التمديد من X∪P. مع اعتبار Z مجموعة وp نقطة في Z، يمكن الحصول على بنية الطوبولوجيا التضمينية باعتبار الطوبولوجيا المتقطعة تكون في Z وتطبيق بنية طوبولوجيا التمديد المغلق على Z – {p}، بالإضافة إلى p.

شرح مبسط

في الطوبولوجيا، أحد فروع الرياضيات، تعد طوبولوجيا التمديد طوبولوجيا تركز على الاتحاد المنفصل لفضاء طوبولوجي ومجموعة أخرى.