تم النشر اليوم 2024/06/06 | معادلات الحقل لأينشتاين

خصائص

حفظ الطاقة وكمية الحركة
النسبية العامة متطابقة مع مبدأي حفظ الطاقة كمية الحركة المحلية المعبر عنهما بالعلاقات
∇ b T a
b = T a
b
;
b =
0
{displaystyle nabla _{b}T^{ab},=T^{ab}{}_{;b},=0} . اشتقاق انحفاظية الطاقة-كمية التحرك المحلية بتقليص متطابقة بيانشي التفاضلية
R a
b
[
c
d
;
e
]
= 0
{displaystyle R_{ab[cd;e]}=,0}
مع
g a
c
{displaystyle g^{ac}} نحصل على, وبفضل الحقيقة القائلة أن الموتر المتري هو ثابت تبايني، أي
g a
b
;
c
=
0
{displaystyle g^{ab}{}_{;c}=0} ,
R c
b
c
d
;
e
+
R c
b
e
c
;
d
+
R c
b
d
e
;
c
= 0
{displaystyle R^{c}{}_{bcd;e}+,R^{c}{}_{bec;d}+,R^{c}{}_{bde;c}=,0}
يسمح نقيض تماثل موتر ريمان للحد الثاني في التعبير السابق بإعادة كتابته على الصورة:
R c
b
c
d
;
e − R c
b
c
e
;
d + R c
b
d
e
;
c =
0
{displaystyle R^{c}{}_{bcd;e},-R^{c}{}_{bce;d},+R^{c}{}_{bde;c},=0}
وهي مكافئة للعلاقة
R b
d
;
e − R b
e
;
d + R c
b
d
e
;
c =
0
{displaystyle R_{bd;e},-R_{be;d},+R^{c}{}_{bde;c},=0}
باستعمال تعريفموتر ريكسي.
بالاختصار مرة أخرى بالمتري
g b
d
( R b
d
;
e − R b
e
;
d + R c
b
d
e
;
c
) =
0
{displaystyle g^{bd}(R_{bd;e},-R_{be;d},+R^{c}{}_{bde;c}),=0}
لتحصيل
R d
d
;
e − R d
e
;
d + R c
d
d
e
;
c =
0
{displaystyle R^{d}{}_{d;e},-R^{d}{}_{e;d},+R^{cd}{}_{de;c},=0}
تعريفات موتر ريمان وقياسي ريكسي تبين لنا أن
R ,
e −
2 R c
e
;
c =
0
{displaystyle R_{,e},-2R^{c}{}_{e;c},=0}
ويمكن إعادة كتابتها بالصورة ( R c
e −
1
2 g c
e
R ) ;
c =
0
{displaystyle (R^{c}{}_{e},-{frac {1}{2}}g^{c}{}_{e}R)_{;c},=0}
اختصار أخير
g e
d
{displaystyle g^{ed}} يعطي ( R c
d −
1
2 g c
d
R ) ;
c =
0
{displaystyle (R^{cd},-{frac {1}{2}}g^{cd}R)_{;c},=0}
والتي تعطينا من التماثل بين الحاصرتين وتعريف موتر آينشتين -بعد إعادة عنونة المعاملات
G a
b
;
b =
0
{displaystyle G^{ab}{}_{;b},=0}
باستعمال EFE, يعطينا هذا مباشرة
∇ b T a
b = T a
b
;
b =
0
{displaystyle nabla _{b}T^{ab},=T^{ab}{}_{;b},=0}
وهي تعبر عن بقاء الطاقة-الإجهاد. يعد قانون البقاء هذا متطلباً فيزيائياً. بفضل معادلاته للمجال تأكد آينشتين بأن النسبية العامة متوافقة مع شرط البقاء هذا. اللاخطية
إن عدم خطية معادلات آينشتين للمجال يميز النسبية العامة عن نظريات فيزيائية أخرى عديدة. على سبيل المثال، معادلات ماكسويل للكهرومغنطيسية تكون خطية في توزيعات المجال الكهربائي والمجال المغناطيسي والشحنة والتيار. (أي أن مجموع الحلين هو حل أيضاً); مثال آخر هو معادلة شرودنجر في ميكانيكا الكم والتي هي خطية في دالة الموجة. مبدأ التوافق
تنخفض EFE إلى قانون الجذب العام لنيوتن باستعمال كل من تقريب المجال الضعيف وتقريب الحركة البطيئة. في الواقع، الثابت الذي يظهر في EFE نحصل عليه بفعل هذين التقريبين.
اشتقاق قانون الجذب العام لنيوتن يمكن صياغة الجاذبية النيوتينية كنظرية مجال قياسي، Φ {displaystyle Phi !} ، والتي هي توتر الجاذبية بوحدات الجول لكل كيلوغرام.
∇ 2
Φ
[ x
→ ,
t
]
=
4
π
G
ρ
[ x
→ ,
t
]
{displaystyle nabla ^{2}Phi [{vec {x}},t]=4pi Grho [{vec {x}},t]}
حيث ρ {displaystyle rho !} كثافة الكتلة. يحقق مدار السقوط الحر العلاقة
x
→
¨ [
t
]
=
−
∇
Φ
[ x
→ [
t
]
,
t
] .
{displaystyle {ddot {vec {x}}}[t]=-nabla Phi [{vec {x}}[t],t],.}
، بعلامات الموتر تصبح
Φ ,
i
i
=
4
π
G
ρ {displaystyle Phi _{,ii}=4pi Grho ,}
d 2 x i d
t
2
=
− Φ ,
i .
{displaystyle {frac {d^{2}x^{i}}{{dt}^{2}}}=-Phi _{,i},.}
تستبدل هذه المعادلات في النسبية العامة بمعادلات مجال آينشتين بصورة انعكاس الأثر
R μ
ν
=
K
( T μ
ν
−
1
2
T g μ
ν
)
{displaystyle R_{mu nu }=K(T_{mu nu }-{1 over 2}Tg_{mu nu })}
لثابت ما، K، و معادلة جيوديسية d 2 x α d
τ
2
=
− Γ β
γ
α d x β
d
τ
d x γ
d
τ
.
{displaystyle {frac {d^{2}x^{alpha }}{{dtau }^{2}}}=-Gamma _{beta gamma }^{alpha }{frac {dx^{beta }}{dtau }}{frac {dx^{gamma }}{dtau }},.}
لتوضيح كيفية اختصار هذه الأخيرة، إلى السابقة نفترض أن سرعة عينة الجسيم هي صفر تقريبا:
d x β
d
τ ≈
( d
t
d
τ ,
0
,
0
,
0
)
{displaystyle {frac {dx^{beta }}{dtau }}approx ({frac {dt}{dtau }},0,0,0)}
وعليه d d
t
( d
t
d
τ ) ≈
0
{displaystyle {frac {d}{dt}}left({frac {dt}{dtau }}right)approx 0}
والمتري ومشتقاته هي ساكنة تقريباً وأن مربعات الانحراف من متري منسكوسكي مهملة. بتطبيق فرضيات التبسيط هذه على المركبات المكانية للمعادلة الجيوديسية يعطينا d 2 x i d
t
2
≈
− Γ 00
i
{displaystyle {frac {d^{2}x^{i}}{{dt}^{2}}}approx -Gamma _{00}^{i}}
حيث أن عاملين من
d
t
d
τ {displaystyle {frac {dt}{dtau }}} قد تمت قسمتهما. هذا يخفضها إلى نظيرتها النيوتنية، شريطة أن
Φ ,
i
≈ Γ 00
i
=
1
2 g i
α
( g α
0
,
0
+ g 0
α
,
0
− g 00
,
α
) .
{displaystyle Phi _{,i}approx Gamma _{00}^{i}={1 over 2}g^{ialpha }(g_{alpha 0,0}+g_{0alpha ,0}-g_{00,alpha }),.}
افتراضاتنا تجبر مشتقات α=i والزمن (0) على البقاء أصفار. على هذا الأساس تتبسط إلى 2 Φ ,
i
≈ g i
j
(
− g 00
,
j
)
≈
− g 00
,
i {displaystyle 2Phi _{,i}approx g^{ij}(-g_{00,j})approx -g_{00,i},}
والتي تتحقق بوضع
g 00
≈
− c 2
−
2
Φ .
{displaystyle g_{00}approx -c^{2}-2Phi ,.}
بموائمتها بمعادلات آينشتين، سنحتاج فقط لمركبة الزمن-الزمن
R 00
=
K
( T 00
−
1
2
T g 00
)
{displaystyle R_{00}=K(T_{00}-{1 over 2}Tg_{00})}
تقتضي افتراضات السرعات المنخفضة والمجال الساكن أن
T μ
ν
≈ d
i
a
g ( T 00
,
0
,
0
,
0
)
≈ d
i
a
g (
ρ c 4
,
0
,
0
,
0
) .
{displaystyle T_{mu nu }approx mathrm {diag} (T_{00},0,0,0)approx mathrm {diag} (rho c^{4},0,0,0),.}
إذن T
= g α
β T α
β
≈ g 00 T 00
≈ −
1
c 2
ρ c 4
=
−
ρ c 2 {displaystyle T=g^{alpha beta }T_{alpha beta }approx g^{00}T_{00}approx {-1 over c^{2}}rho c^{4}=-rho c^{2},}
وبالتالي K
( T 00
−
1
2
T g 00
)
≈
K
(
ρ c 4
−
1
2
(
−
ρ c 2
)
(
− c 2
)
)
=
1
2
K
ρ c 4 .
{displaystyle K(T_{00}-{1 over 2}Tg_{00})approx K(rho c^{4}-{1 over 2}(-rho c^{2})(-c^{2}))={1 over 2}Krho c^{4},.}
من تعريف موتر ريكسي
R 00
= Γ 00
,
ρ
ρ
− Γ ρ
0
,
0
ρ
+ Γ ρ
λ
ρ Γ 00
λ
− Γ 0
λ
ρ Γ ρ
0
λ
.
{displaystyle R_{00}=Gamma _{00,rho }^{rho }-Gamma _{rho 0,0}^{rho }+Gamma _{rho lambda }^{rho }Gamma _{00}^{lambda }-Gamma _{0lambda }^{rho }Gamma _{rho 0}^{lambda }.}
افتراضاتنا التبسيطية تنهي مربعات Γببعضها مع مشتقات الزمن
R 00
≈ Γ 00
,
i
i .
{displaystyle R_{00}approx Gamma _{00,i}^{i},.}
بدمج المعادلات السابقة
Φ ,
i
i
≈ Γ 00
,
i
i
≈ R 00
=
K
( T 00
−
1
2
T g 00
)
≈
1
2
K
ρ c 4 {displaystyle Phi _{,ii}approx Gamma _{00,i}^{i}approx R_{00}=K(T_{00}-{1 over 2}Tg_{00})approx {1 over 2}Krho c^{4},}
والتي تنخفض إلى معادلة المجال النيوتيني بشرط 1
2
K
ρ c 4
=
4
π
G
ρ {displaystyle {1 over 2}Krho c^{4}=4pi Grho ,}
والذي سيتحقق إذا كان K
= 8
π
G
c 4 .
{displaystyle K={frac {8pi G}{c^{4}}},.}

الصورة الرياضياتية

جزء من سلسلة مقالات حولزمكان
نسبية خاصةنسبية عامة مفاهيم الزمكانزمكان متشعب الفروعمبدأ التكافؤتحويلات لورينتزفضاء مينكوفسكي نسبية عامةمدخل إلى النسبية العامةرياضيات النسبية العامةمعادلات الحقل لأينشتاين جاذبية كلاسيكيةمقدمة للثقالةقانون نيوتن للجاذبية رياضيات متعلقةمتجهة رباعيةاشتقاقات النسبيةمخططات زمكانيةهندسة تفاضليةفضاء منحنيرياضيات النسبية العامةطوبولوجيا الزمكان
عنت
يمكن كتابة معادلات آينشتين للمجال (EFE) على الصورة: R μ
ν
− 1
2 R
g μ
ν
+
Λ g μ
ν
= 8
π
G
c 4 T μ
ν
{displaystyle R_{mu nu }-{tfrac {1}{2}}R,g_{mu nu }+Lambda g_{mu nu }={frac {8pi G}{c^{4}}}T_{mu nu }}
معادلات حقل أينشتاين على حائط في ليدن بهولندا
حيث
R μ
ν {displaystyle R_{mu nu },} تمثل انحناء ريكسي، R {displaystyle R,} انحناء قياسي،
g μ
ν {displaystyle g_{mu nu },} موتر متري، Λ {displaystyle Lambda ,} يمثل ثابت كوني، G {displaystyle G,} ثابت الجذب العام، c {displaystyle c,} هي سرعة الضوء، و
T μ
ν {displaystyle T_{mu nu },} موتر انفعال-طاقة. EFE هي معادلة موتر تربط بين مجموعة من موترات 4 x 4 تماثلية، تكتب باستعمال علامة معامل مجردة. لكل موتر توجد 10 مركبات مستقلة. بمعلومية حرية الاختيار لإحداثيات الزمكان الأربعة، تنخفض المعادلات المستقلة إلى 6 عددياً. بالرغم من أن معادلات آينشتين للمجال تمت صياغتها في السياق بداية من نظرية رباعية الأبعاد، فقد قام بعض النظريين بتوسيع نتائجها إلى
n من الأبعاد. المعادلات في السياق خارج النسبية العامة لا زال يشار إليها بمعادلات آينشتين للمجال. تقوم معادلات مجال الفراغ بتعريف تشعبات آينشتين. بالرغم من المنظر البسيط الذي تبدو عليه المعادلات، إلّا أنها معقدة في الواقع. إذا علم توزيع معين للمادة والطاقة على هيئة موتر إجهاد-طاقة فإن EFE تفهم على أنها معادلاتان للموتر المتري
g μ
ν
{displaystyle g_{mu nu }} ، لما كانت كلتيهما موتر ريكسي والانحناء القياسي معتمدة على على المتري بطريقة لا خطية معقدة، في الحقيقة، عند كتابتها كلياً، فإنEFE تمثل منظومة من 10 معادلات تفاضلية جزئية، مرتبطة لا خطية، مكافئة-بيضوية. يمكن للمرء كتابة EFE بصورة أكثر اندماجية بتعريف موتر آينشتين
G μ
ν
= R μ
ν
−
1
2
R g μ
ν
,
{displaystyle G_{mu nu }=R_{mu nu }-{1 over 2}Rg_{mu nu },}
وهو مؤثر تماثلي من الرتبة الثانية بشكل دالة في المتري. يمكن حينئذ كتابة EFE بالصورة
G μ
ν
= 8
π
G
c 4 T μ
ν
,
{displaystyle G_{mu nu }={8pi G over c^{4}}T_{mu nu },}
حيث تم اختزال الحد الكوني إلى موتر إجهاد-طاقة في طاقة مظلمة. باستعمال وحدات هندسية حيث G = c = 1, يمكن إعادة كتابتها كما يلي
G μ
ν
=
8
π T μ
ν .
{displaystyle G_{mu nu }=8pi T_{mu nu },.}
التعبير الأيسر يمثل تقوس الفضاء والزمان (الزمكان) الذي يتم إيجاده من المتري بينما التعبير على الطرف الأيمن يمثل محتوى الطاقةالمادة من الزمكان. بالتالي يمكن تفسير EFE كمجموعة من المعادلات تملي علينا كيفية ارتباط تقوس الزمكان بمحتوى المادةالطاقة في الكون. هذه المعادلات مع المعادلة الجيوديسية, تشل نواة التصييغ الرياضياتي في النسبية العامة. اصطلاح الإشارة
يمثل الشكل السابق من EFE المعيار الذي تم تأسيسه في كتاب مسنر, ثورن, وويلر. قام المؤلفون بتحليل جميع الاصطلاحات الموجودة وصنفوها وفقاً للأإشارات الثلاث التاليةS1, S2, S3:
g μ
ν

=
[
S
1
]
×
diag
⁡
(
−
1
,
+
1
,
+
1
,
+
1
)
{displaystyle g_{mu nu }~~=[S1]times operatorname {diag} (-1,+1,+1,+1)} R μ
a
β
γ
=
[
S
2
]
×
( Γ a
γ
,
β
μ
− Γ a
β
,
γ
μ
+ Γ σ
β
μ Γ γ
a
σ
− Γ σ
γ
μ Γ β
a
σ
)
{displaystyle {R^{mu }}_{abeta gamma }=[S2]times (Gamma _{agamma ,beta }^{mu }-Gamma _{abeta ,gamma }^{mu }+Gamma _{sigma beta }^{mu }Gamma _{gamma a}^{sigma }-Gamma _{sigma gamma }^{mu }Gamma _{beta a}^{sigma })} G μ
ν

=
[
S
3
]
× 8
π
G
c 4 T μ
ν
{displaystyle G_{mu nu }~~=[S3]times {8pi G over c^{4}}T_{mu nu }}
الإشارة الثالثة أعلاه تتعلق باختيار الاصطلاح لموتر ريكسي:
R μ
ν
=
[
S
2
]
×
[
S
3
]
× R a
μ
a
ν
{displaystyle R_{mu nu }=[S2]times [S3]times {R^{a}}_{mu anu }}
حيث أن هذه التعريفات كتاب مسنر, ثورن, وويلر تصنف نفسها على أنها (
+
+
+
) {displaystyle (+++),} , حيث Weinberg (1972) هي (
+
−
−
) {displaystyle (+–),} , Peebles (1980) وEfstathiou (1990) هي (
−
+
+
) {displaystyle (-++),} بينما Peacock (1994), Rindler (1977), Atwater (1974), Collins Martin & Squires (1989) هي (
−
+
−
) {displaystyle (-+-),} . استخدم المؤلفون بما فيهم آينشتين إشارة مختلفة في تعريفهم لموتر ريكسي والذي نتج عنه أن أصبحت إشارة الثابت على الطرف الأيمن سالبة
R μ
ν
−
1
2 g μ
ν R
− g μ
ν
Λ
=
− 8
π
G
c 4 T μ
ν
.
{displaystyle R_{mu nu }-{1 over 2}g_{mu nu },R-g_{mu nu }Lambda =-{8pi G over c^{4}}T_{mu nu }.}
إشارة الحد الكوني (الصغير جداً) قد تتغير في كل هذه الإصدارات، إذا استعملنا اصطلاح الإشارة المتري +— بدلاً عن MTW −+++ اصطلاح الإشارة المتري المتبنى هنا. صيغ مكافئة
يمكن كتابة معادلات آينشتين للمجال بالصورة (التقفي العكسي) المكافئة التالية:
R μ
ν
− g μ
ν
Λ
= 8
π
G
c 4
( T μ
ν
−
1
2
T
g μ
ν
)
{displaystyle R_{mu nu }-g_{mu nu }Lambda ={8pi G over c^{4}}(T_{mu nu }-{1 over 2}T,g_{mu nu })}
والتي يمكن أن تكون أكثر ملائمة في بعض الأحيان (مثلاً، عندما يهتم المرء بحد المجال الضعيف ويمكنه إبدال
g μ
ν
{displaystyle g_{mu nu }} in التعبير على الطرف الأيمن بموتر مينكوسكي دونما فقد ملحوظ للدقة).

الثابت الكوني

قام آينشتين بتعديل معادلاته الأصلية للمجال كي تتضمن حداً كونياً متناسباً مع المتري
R μ
ν
−
1
2 g μ
ν R
+ g μ
ν
Λ
= 8
π
G
c 4 T μ
ν .
{displaystyle R_{mu nu }-{1 over 2}g_{mu nu },R+g_{mu nu }Lambda ={8pi G over c^{4}}T_{mu nu },.}
الثابت Λ
{displaystyle Lambda } يعد ثابت كوني. لأن Λ
{displaystyle Lambda } ثابتاً، فلن يتأثر مبدأ حفظ الطاقة. ثابت الحد الكوني كان آينشتين قد قدمه أصلاً لوصف كون ساكن (بمعنى أنه لا يتمدد ولا ينكمش). لم يكن هذا المجهود ناجحاً لسببين: الكون الساكن في هذه النظرية لم يكن مستقراً حيث أكدت مراقبة المجرات البعيدة بواسطة هوبل بعد عقد من الزمن أن كوننا ليس ساكناُ في الحقيقة بل أنه يتوسع. بالتالي تم التخلي عن Λ
{displaystyle Lambda } ، والتي أطلق علها آينشتين “أفضع خطأ فادح أرتكبه”. ولأعوام عديدة ظل الثابت الكوني متفق على أنه 0 تقريباً. بعيداً عن حماسة آينشتين’المضللة في تقديم حد الثابت الكوني، لايوجد ما يتعارض مع حد كهذا في المعادلة. في الواقع، هناك تقنيات فلكية متطورة حديثة قد وجدت أن القيمة الموجبة لـ Λ
{displaystyle Lambda } ضرورية لتفسير بعض المشاهد. كان آينشتين يعتقد بأن الثابت الكوني ويسيط مستقل، لكن حده في المعادلة يمكن أن ينتقل أيضاً إلى الطرف الآخر جبرياً، المكتوب كجزء من موتر الإجهاد-الطاقة:
T μ
ν (
v
a
c
) =
− Λ c 4
8
π
G
g μ
ν .
{displaystyle T_{mu nu }^{mathrm {(vac)} }=-{frac {Lambda c^{4}}{8pi G}}g_{mu nu },.}
تعتبر طاقة الفراغ ثابتة بالعلاقة
ρ
v
a
c = Λ c 2
8
π
G {displaystyle rho _{mathrm {vac} }={frac {Lambda c^{2}}{8pi G}}}
بالتالي فإن وجود ثابت كوني ذا طاقة فراغ لا صفرية.اليوم تستعمل الحدود في النسبية العامة بشكل تبادلي.

شرح مبسط

معادلات الحقل لأينشتاين (EFE) أو معادلات أينشتاين هي مجموعة عشر معادلات في نظرية ألبرت أينشتاين للنسبية العامة والتي تصف التآثر الأساسي في الجاذبية جراء تقوس الزمكان مع كل من المادة والطاقة.[1] نشرت بداية بواسطة أينشتاين في 1915[2] على أنها معادلة موتر، تعادل EFE انحناء الزمكان (يعبر عنها ب موتر آينشتين) مع الطاقة وكمية التحرك ضمن ذلك الزمكان (المعبر عنها بموتر الإجهاد-الطاقة).