تم النشر اليوم 2024/06/16 | قائمة المتسلسلات الرياضياتية

متسلسلات القوى

تجميع اللانهائيات (عندما يكون
| x | <
1
{displaystyle |x|
0
a
n
d
x
=
1 1
+
r .
{displaystyle sum _{i=0}^{n}x^{i}={frac {1-x^{n+1}}{1-x}}=1+{frac {1}{r}}(1-{frac {1}{(1+r)^{n}}}),mathrm {where} r>0 mathrm {and} x={frac {1}{1+r}}.,!} ∑ i
=
0
∞ x 2
i
=
1 1
− x 2 {displaystyle sum _{i=0}^{infty }x^{2i}={frac {1}{1-x^{2}}},!} ∑ i
=
1
∞
i x i
=
x (
1
−
x ) 2 {displaystyle sum _{i=1}^{infty }ix^{i}={frac {x}{(1-x)^{2}}},!}
∑ i
=
1
n
i x i
=
x 1
− x n
(
1
−
x ) 2 − n x n
+
1
1
−
x {displaystyle sum _{i=1}^{n}ix^{i}=x{frac {1-x^{n}}{(1-x)^{2}}}-{frac {nx^{n+1}}{1-x}},!} ∑ i
=
1
∞ i 2 x i
= x
(
1
+
x
)
(
1
−
x ) 3 {displaystyle sum _{i=1}^{infty }i^{2}x^{i}={frac {x(1+x)}{(1-x)^{3}}},!}
∑ i
=
1
n i 2 x i
= x
(
1
+
x
−
(
n
+
1 ) 2 x n
+
(
2 n 2
+
2
n
−
1
) x n
+
1
− n 2 x n
+
2
)
(
1
−
x ) 3 {displaystyle sum _{i=1}^{n}i^{2}x^{i}={frac {x(1+x-(n+1)^{2}x^{n}+(2n^{2}+2n-1)x^{n+1}-n^{2}x^{n+2})}{(1-x)^{3}}},!} ∑ i
=
1
∞ i 3 x i
= x
(
1
+
4
x
+ x 2
)
(
1
−
x ) 4 {displaystyle sum _{i=1}^{infty }i^{3}x^{i}={frac {x(1+4x+x^{2})}{(1-x)^{4}}},!} ∑ i
=
1
∞ i 4 x i
= x
(
1
+
x
)
(
1
+
10
x
+ x 2
)
(
1
−
x ) 5 {displaystyle sum _{i=1}^{infty }i^{4}x^{i}={frac {x(1+x)(1+10x+x^{2})}{(1-x)^{5}}},!} ∑ i
=
1
∞ i k x i
= Li −
k
⁡
(
x
)
,
{displaystyle sum _{i=1}^{infty }i^{k}x^{i}=operatorname {Li} _{-k}(x),,!} حيث أن Lis(x) هو لوغاريتم متعدد للمتغير x. قواسم بسيطة
المعادلة ∑ i
=
1
∞ x i
i
=
−
ln
⁡ ( 1
−
x )
for | x | ≤
1
, x
≠
1
{displaystyle sum _{i=1}^{infty }{frac {x^{i}}{i}}=-ln left({1-x}right)quad {mbox{ for }}|x|leq 1,,xnot =1,!} ∑ i
=
0
∞ (
−
1 ) i
2
i
+
1
x 2
i
+
1
=
x
− x 3
3
+ x 5
5
−
⋯
=
arctan
⁡
(
x
)
{displaystyle sum _{i=0}^{infty }{frac {(-1)^{i}}{2i+1}}x^{2i+1}=x-{frac {x^{3}}{3}}+{frac {x^{5}}{5}}-cdots =arctan(x),!} ∑ i
=
0
∞ x 2
i
+
1 2
i
+
1 = a
r
c
t
a
n
h (
x
) for | x | <
1
{displaystyle sum _{i=0}^{infty }{frac {x^{2i+1}}{2i+1}}=mathrm {arctanh} (x)quad {mbox{ for }}|x|<1,!} ∑ i
=
1
∞
1 i 2
= π 2
6
{displaystyle sum _{i=1}^{infty }{frac {1}{i^{2}}}={frac {pi ^{2}}{6}},!} قواسم عاملية
هي متسلسلة متعددة القوى نشأت من مبرهنة تايلور ويكون لديها معامل عاملي. المعادلة ∑ i
=
0
∞ x i i
! = e x
{displaystyle sum _{i=0}^{infty }{frac {x^{i}}{i!}}=e^{x}} ∑ i
=
0
∞
i x i i
! =
x e x
{displaystyle sum _{i=0}^{infty }i{frac {x^{i}}{i!}}=xe^{x}} (شاهد توزيع بواسون) ∑ i
=
0
∞ i 2 x i i
! =
(
x
+ x 2
) e x
{displaystyle sum _{i=0}^{infty }i^{2}{frac {x^{i}}{i!}}=(x+x^{2})e^{x}} (شاهد العزم الثاني لتوزيع بواسون) ∑ i
=
0
∞ i 3 x i i
! =
(
x
+
3 x 2
+ x 3
) e x
{displaystyle sum _{i=0}^{infty }i^{3}{frac {x^{i}}{i!}}=(x+3x^{2}+x^{3})e^{x}} ∑ i
=
0
∞ i 4 x i i
! =
(
x
+
7 x 2
+
6 x 3
+ x 4
) e x
{displaystyle sum _{i=0}^{infty }i^{4}{frac {x^{i}}{i!}}=(x+7x^{2}+6x^{3}+x^{4})e^{x}} ∑ i
=
0
∞ (
−
1 ) i
(
2
i
+
1
)
!
x 2
i
+
1
=
x
− x 3 3
! + x 5 5
! −
⋯
=
sin
⁡
x
{displaystyle sum _{i=0}^{infty }{frac {(-1)^{i}}{(2i+1)!}}x^{2i+1}=x-{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{5}}{5!}}-cdots =sin x} ∑ i
=
0
∞ (
−
1 ) i
(
2
i
)
!
x 2
i
=
1
− x 2 2
! + x 4 4
! −
⋯
=
cos
⁡
x
{displaystyle sum _{i=0}^{infty }{frac {(-1)^{i}}{(2i)!}}x^{2i}=1-{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{4}}{4!}}-cdots =cos x} ∑ i
=
0
∞ x 2
i
+
1 (
2
i
+
1
)
! =
sinh
⁡
x
{displaystyle sum _{i=0}^{infty }{frac {x^{2i+1}}{(2i+1)!}}=sinh x} ∑ i
=
0
∞ x 2
i (
2
i
)
! =
cosh
⁡
x
{displaystyle sum _{i=0}^{infty }{frac {x^{2i}}{(2i)!}}=cosh x} القواسم العاملية-المعدلة
المعادلة ∑ n
=
0
∞ (
2
n
)
! 4 n
(
n
! ) 2
(
2
n
+
1
)
x 2
n
+
1
=
arcsin
⁡
x for | x | <
1 {displaystyle sum _{n=0}^{infty }{frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}=arcsin xquad {mbox{ for }}|x|<1!} ∑ i
=
0
∞ (
−
1 ) i
(
2
i
)
! 4 i
(
i
! ) 2
(
2
i
+
1
)
x 2
i
+
1
= a
r
c
s
i
n
h (
x
) for | x | <
1 {displaystyle sum _{i=0}^{infty }{frac {(-1)^{i}(2i)!}{4^{i}(i!)^{2}(2i+1)}}x^{2i+1}=mathrm {arcsinh} (x)quad {mbox{ for }}|x|<1!} متسلسلة ثنائية الحد
متسلسلة ثنائية الحد (و من ضمنها متسلسلة الجذر التربيعي عندما يكون α
=
1 / 2
{displaystyle alpha =1/2} والمتسلسلة الهندسية اللانهائية عندما يكون α
=
−
1
{displaystyle alpha =-1} ): الجذر التربيعي: 1
+
x
= ∑ n
=
0
∞ (
−
1 ) n
(
2
n
)
!
(
1
−
2
n
)
n ! 2 4 n
x n for | x | <
1 {displaystyle {sqrt {1+x}}=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)n!^{2}4^{n}}}x^{n}quad {mbox{ for }}|x|<1!}
المتسلسلة الهندسية: (
1
+
x ) −
1
= ∑ n
=
0
∞
(
−
1 ) n x n for | x | <
1
{displaystyle (1+x)^{-1}=sum _{n=0}^{infty }(-1)^{n}x^{n}quad {mbox{ for }}|x|<1}
الصيغة العامة: (
1
+
x ) α
= ∑ n
=
0
∞ (
α
n
)
x n for all | x | <
1
and all complex
α {displaystyle (1+x)^{alpha }=sum _{n=0}^{infty }{alpha choose n}x^{n}quad {mbox{ for all }}|x|<1{mbox{ and all complex }}alpha !}
مع العوامل الثنائية الحد المعممة (
α
n
) = ∏ k
=
1
n α
−
k
+
1 k
= α
(
α
−
1
)
⋯
(
α
−
n
+
1
)
n
!
{displaystyle {alpha choose n}=prod _{k=1}^{n}{frac {alpha -k+1}{k}}={frac {alpha (alpha -1)cdots (alpha -n+1)}{n!}}!}

∑ i
=
0
∞ ( i
+
n i
)
x i
=
1 (
1
−
x ) n
+
1 {displaystyle sum _{i=0}^{infty }{i+n choose i}x^{i}={frac {1}{(1-x)^{n+1}}}}

∑ i
=
0
∞
1 i
+
1
( 2
i i
)
x i
=
1 2
x (
1
−
4
x
)
{displaystyle sum _{i=0}^{infty }{frac {1}{i+1}}{2i choose i}x^{i}={frac {1}{2x}}({sqrt {1-4x}})}

∑ i
=
0
∞ ( 2
i i
)
x i
=
1 1
−
4
x {displaystyle sum _{i=0}^{infty }{2i choose i}x^{i}={frac {1}{sqrt {1-4x}}}}

∑ i
=
0
∞ ( 2
i
+
n i
)
x i
=
1 1
−
4
x ( 1
−
1
−
4
x
2
x )
n
{displaystyle sum _{i=0}^{infty }{2i+n choose i}x^{i}={frac {1}{sqrt {1-4x}}}left({frac {1-{sqrt {1-4x}}}{2x}}right)^{n}}

تجميعات القوى

المعادلة ∑ i
=
1
n
i
= n
(
n
+
1
) 2
{displaystyle sum _{i=1}^{n}i={frac {n(n+1)}{2}},!} ∑ i
=
1
n i 2
= n
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
) 6
= n 3
3
+ n 2
2
+
n
6
{displaystyle sum _{i=1}^{n}i^{2}={frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={frac {n^{3}}{3}}+{frac {n^{2}}{2}}+{frac {n}{6}},!} ∑ i
=
1
n i 3
=
( n
(
n
+
1
) 2
)
2
= n 4
4
+ n 3
2
+ n 2
4
=
[
∑ i
=
1
n
i ]
2
{displaystyle sum _{i=1}^{n}i^{3}=left({frac {n(n+1)}{2}}right)^{2}={frac {n^{4}}{4}}+{frac {n^{3}}{2}}+{frac {n^{2}}{4}}=left[sum _{i=1}^{n}iright]^{2},!} ∑ i
=
1
n i 4
= n
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
(
3 n 2
+
3
n
−
1
) 30
{displaystyle sum _{i=1}^{n}i^{4}={frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}},!} ∑ i
=
0
n i s
= (
n
+
1 ) s
+
1
s
+
1 + ∑ k
=
1
s B k s
−
k
+
1
(
s
k
) (
n
+
1 ) s
−
k
+
1
{displaystyle sum _{i=0}^{n}i^{s}={frac {(n+1)^{s+1}}{s+1}}+sum _{k=1}^{s}{frac {B_{k}}{s-k+1}}{s choose k}(n+1)^{s-k+1},!}
حيث أن
B k
{displaystyle B_{k}} هو عدد بيرنولي ذو العدد k. ∑ i
=
1
∞ i −
s
= ∏ p prime 1 1
− p −
s =
ζ
(
s
)
{displaystyle sum _{i=1}^{infty }i^{-s}=prod _{p{text{ prime}}}{frac {1}{1-p^{-s}}}=zeta (s),!}
حيث أن ζ
(
s
)
{displaystyle zeta (s)} هو دالة زيتا.

غير مصنفة

المعادلة ∑ n
=
b
+
1
∞
b
n 2
− b 2 = ∑ n
=
1
2
b
1 2
n {displaystyle sum _{n=b+1}^{infty }{frac {b}{n^{2}-b^{2}}}=sum _{n=1}^{2b}{frac {1}{2n}}}

ملاحظات

.

شرح مبسط

هذه قائمة بالمتسلسلات الرياضياتية والتي تحتوي على صيغ بالتجميعات المنتهية واللامنتهية. ويمكن استخدامها مع غيرها من الأدوات التي تقوم بتقدير التجميعات evaluating sums.