تم النشر اليوم 2024/06/03 | مشتق عكسي

الطرق المختلفة لايجاد التكامل

ليست كل العمليات أو القواعد الممكنة في الدالة الاصلية يمكن تنفيذها مباشرة في المعكوس. فمثلا لايمكن ايجاد تكامل حاصل ضرب أو قسمة دالتين مباشرة ولكن يمكن الاستعانة بالتعريف الاصلي في التفاضل وخواصه لايجاد قاعدة شبيهة. هنا بعض الطرق المستخدمة في ايجاد الاشتقاق العكسي للتابع: العلاقة الخطية
∫
(
a
f
(
x
)
+
b
g
(
x
)
) d
x
=
a
∫
f
(
x
) d
x
+
b
∫
g
(
x
) d
x
.
{displaystyle int (af(x)+bg(x)),dx=aint f(x),dx+bint g(x),dx.}
التكامل بالتعويض المقالة الرئيسة: تكامل بالتعويض ∫ a
b
f
(
g
(
t
)
) g
′ (
t
) d
t
= ∫ g
(
a
)
g
(
b
)
f
(
x
) d
x
.
{displaystyle int _{a}^{b}f(g(t))g'(t),dt=int _{g(a)}^{g(b)}f(x),dx.}
التكامل بالتجزيء المقالة الرئيسة: تكامل بالتجزئة
∫
u d
v
=
u
v
−
∫
v d
u
. {displaystyle int u,dv=uv-int v,du.!}
التكامل بالنشر المقالة الرئيسة: تكامل بالنشر
يمكن نشر الدالة قبل مكاملتها باستخدام مفكوك تايلور وماكلورين ثم مكاملتها. باستخدام مفكوك تايلور ∫
f
(
x
)
d
x
=
∫ ∑ n
=
0
∞
f (
n
)
(
a
)
n
!
(
x
−
a ) n
d
x
= ∑ n
=
0
∞
f (
n
)
(
a
)
n
!
(
n
+
1
)
(
x
−
a ) n
+
1
+
C
{displaystyle int f(x)dx=int sum _{n=0}^{infty }{frac {f^{(n)}(a)}{n!}},(x-a)^{n}dx=sum _{n=0}^{infty }{frac {f^{(n)}(a)}{n!(n+1)}},(x-a)^{n+1}+C}
باستخدام مفكوك ماكلورين ∫
f
(
x
)
d
x
=
∫ ∑ n
=
0
∞
f (
n
)
(
0
)
n
! x n
d
x
= ∑ n
=
0
∞
f (
n
)
(
0
)
n
!
(
n
+
1
) x n
+
1
+
C
{displaystyle int f(x)dx=int sum _{n=0}^{infty }{frac {f^{(n)}(0)}{n!}},x^{n}dx=sum _{n=0}^{infty }{frac {f^{(n)}(0)}{n!(n+1)}},x^{n+1}+C}
التكامل بالتحليل العددي المقالة الرئيسة: تكامل عددي
تستخدم هذه الطريقة لحساب التكاملات المحدودة بواسطة الحاسوب حيث يتم عمل خوارزمية مناسبة لحساب التكامل في برنامج وتنفيذه. تستطيع الحواسيب في الوقت الحاضر حساب تكاملات غاية في التعقيد في زمن صغير جدا. تعتبر طريقة شبه المنحرف المركب من أشهر الطرق المستخدمة في التحليل العددي وتلخص بالصيغة:
∫ a
b
f
(
x
) d
x
≈ b
−
a n (
f
(
a
)
+
f
(
b
) 2
+ ∑ k
=
1
n
−
1
f ( a
+
k b
−
a n )
) {displaystyle int _{a}^{b}f(x),dxapprox {frac {b-a}{n}}left({f(a)+f(b) over 2}+sum _{k=1}^{n-1}fleft(a+k{frac {b-a}{n}}right)right)}
حيث تأخذ الفترات الفرعية الشكل [k h, (k+1) h], مع h = (b−a)/n وk = 0, 1, 2,…, n−1

القواعد الرياضية

يعبر عن التكامل غير المحدود رياضياً بالصيغة: ∫
f
(
x
)
d
x
=
F
(
x
)
+
C
{displaystyle int f(x)dx=F(x)+C}
حيث F
′
(
x
)
=
d d
x F
(
x
)
=
f
(
x
)
{displaystyle F’!(x)={frac {d}{dx}}F(x)=f(x)}
استُعمل الرمز
∫ {displaystyle textstyle int } للدلالة على التكامل وهو مشتق من الرمز الأصلي s بالإنكليزية من مجموع sum ومع الوقت اعتاد الرياضياتيون على مد الحرف ليصبح بالشكل الذي هو علية الآن. التعبير F(x) + C هو الاشتقاق العكسي العام للدالة لأن مشتقة الثابت C هي صفرf. إن سبب ضرورة إضافة ثابت في التكامل هو عدم معرفة القيمة الأصلية له قبل الاشتقاق. تشتق قواعد التكامل غير المحدود من قواعد الاشتقاق نفسها كون العملية عكسية. فمثلا عند وجود ثابت مضروب في الدالة فبالإمكان مكاملة الدالة ثم ضرب التكامل في الثابت، أي: ∫
a
f
(
x
)
d
x
=
a
∫
f
(
x
)
d
x
{displaystyle int af(x)dx=aint f(x)dx}
كذلك الحال لمجموع دالتين f وg أو الفرق بينهما: ∫
[
f
(
x
)
±
g
(
x
)
]
d
x
=
∫
f
(
x
)
d
x
±
∫
g
(
x
)
d
x
{displaystyle int [f(x)pm g(x)]dx=int f(x)dxpm int g(x)dx}

شرح مبسط

في التحليل الرياضي، المشتق العكسي أو التكامل غير المحدود، أو الدالة الأصلية لدالة حقيقية f (بالإنجليزية: Antiderivative)‏ هي دالة F مشتقها تساوي: f، أي أن F′ = f.[1][2]