تم النشر اليوم 2024/06/16 | تحول نشط وتحول سلبي

تحويلات مكانية في الفضاء الإقليدي R
3
{displaystyle {displaystyle mathbb {R} ^{3}}}

عادة ما تحتوي التحويلات المكانية T
:
R
3
→
R
3
{displaystyle {displaystyle Tcolon mathbb {R} ^{3}to mathbb {R} ^{3}}} على انسحاب و تحويل خطي. سيتم تجاهل الانسحاب في التحليلات القادمة و سيتم التعبير عن التحويل الخطي كمصفوفة من حجم 3×3 تسمى T
{displaystyle T} . تحويل نشط
تقوم T
{displaystyle T} بتحويل المتجهة
v =
( v x
, v y
, v z
)
{displaystyle {displaystyle mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})}} إلى متجهة جديدة v ′ =
( v x ′ , v y ′ , v z ′ )
=
T v =
T
( v x
, v y
, v z
)
{displaystyle {displaystyle mathbf {v} ‘=(v’_{x},v’_{y},v’_{z})=Tmathbf {v} =T(v_{x},v_{y},v_{z})}} . إذا تم النظر إلى {
e
x ′ =
T
(
1
,
0
,
0
)
,

e
y ′ =
T
(
0
,
1
,
0
)
,

e
z ′ =
T
(
0
,
0
,
1
)
}
{displaystyle {displaystyle {mathbf {e} ‘_{x}=T(1,0,0), mathbf {e} ‘_{y}=T(0,1,0), mathbf {e} ‘_{z}=T(0,0,1)}}} على أنها القاعدة الجديد، إذا تكون إحداثيات المتجهة الجديدة v ′ = v x
e
x ′ + v y
e
y ′ + v z
e
z ′ {displaystyle {displaystyle mathbf {v} ‘=v_{x}mathbf {e} ‘_{x}+v_{y}mathbf {e} ‘_{y}+v_{z}mathbf {e} ‘_{z}}} في القاعدة الجديدة هي نفسها تلك في القاعدة الأصلية
v = v x
e
x
+ v y
e
y
+ v z
e
z
{displaystyle {displaystyle mathbf {v} =v_{x}mathbf {e} _{x}+v_{y}mathbf {e} _{y}+v_{z}mathbf {e} _{z}}} . لاحظ أن التحويل النشط يكون منطقيا حتى في التحويل الخطي إلى متجهة مكان مختلفة. يمكن كتابة المتجهة بشكل e دون إشارة الفاصلة العليا فقط إذا كان التحول من الحيز الذي يشغله و إليه. تحويل سلبي
عندما يتم النظر إلى T
{displaystyle T} على أنها تحول خامل، المتجه الأساس
v =
( v x
, v y
, v z
)
{displaystyle {displaystyle mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})}} لا يتغير بينما يتم تحويل القاعدة و النظام الإحداثي كاملا إلى الجهة المعاكسة، أي ما يمثل مقلوب T
{displaystyle T} إلى
T −
1
{displaystyle {displaystyle T^{-1}}} . ما يعطي نظام الإحداثيات الجديد XYZ متجهات القاعدة التالين: e
= T −
1
(
1
,
0
,
0
)
,

e
Y
= T −
1
(
0
,
1
,
0
)
,

e
Z
= T −
1
(
0
,
0
,
1
)
{displaystyle {displaystyle mathbf {e} _{X}=T^{-1}(1,0,0), mathbf {e} _{Y}=T^{-1}(0,1,0), mathbf {e} _{Z}=T^{-1}(0,0,1)}} ما يجعل الإحداثيات الجديدة للمتجهة سابقة التعريف هي ( v , v Y
, v Z
)
{displaystyle {displaystyle (v_{X},v_{Y},v_{Z})}} و تعرف على أنها:
v =
( v x
, v y
, v z
)
= v
e + v Y e Y
+ v Z e Z
= T −
1
( v , v Y
, v Z
)
{displaystyle {displaystyle mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})=v_{X}e_{X}+v_{Y}e_{Y}+v_{Z}e_{Z}=T^{-1}(v_{X},v_{Y},v_{Z})}} نستنتج أن: ( v , v Y
, v Z
)
=
T
( v x
, v y
, v z
)
{displaystyle {displaystyle (v_{X},v_{Y},v_{Z})=T(v_{x},v_{y},v_{z})}}

مثال

دوران نشط (أسفل) و سلبي (أعلى)
تعرف المتجهة
v =
( v 1
, v 2
)
∈
R
2
{displaystyle {displaystyle mathbf {v} =(v_{1},v_{2})in mathbb {R} ^{2}}} على أنها متجهة في مستوى ما. يمكن تدوير المتجهة بزاوية θ باتجاه عقارب الساعة عن طريق مصفوفة الدوران: R
=
( cos
⁡
θ
−
sin
⁡
θ
sin
⁡
θ
cos
⁡
θ )
,
{displaystyle {displaystyle R={begin{pmatrix}cos theta &-sin theta \sin theta &cos theta end{pmatrix}},}} و التي يمكن النظر إليها كتحويل نشط أو سلبي، و تكون تحويل سلبي عند استعمال مقلوبها.

شرح مبسط

في الهندسة التحليلية، يتم تقسيم التحويلات الفضائية في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد

R

3

{displaystyle {displaystyle mathbb {R} ^{3}}}

إلى تحويلات نشطة أو سلبية.[1] التحويل النشط هو تحويل يؤدي إلى تغير الموقع الفيزيائي لنقطة ما أو لجسم ما و يمكن تعريفه في حال غياب نظام إحداثي، بينما يعتبر التحويل السلبي[2] مجدر تغير في النظام الإحداثي الذي يصف الجسم. عند ذكر التحويل، عادة ما يقصد الرياضياتيون التحويل النشط بينما يمكن أن يقصد المهندسون و الفيزيائيون أيا منهم. يمكن لكلا النوعين من التحاويل أن يمثل عن طريق مجموع من التحويل الخطي والانسحاب.