تم النشر اليوم 2024/06/03 | تفاضل

مثال

إذا أردنا إيجاد دصدس
(
d y d x ) {displaystyle left({frac {mathrm {d} y}{mathrm {d} x}}right)} في الاقتران ق(س) = س³+3س²-2س+4 ( f
(
x
)
= x 3
+
3 x 2
−
2
x
+
4
{displaystyle f(x)=x^{3}+3x^{2}-2x+4} ) قَ(س) = 3س²+6س-2 (
f
′ (
x
)
=
3 x 2
+
6
x
−
2
{displaystyle f'(x)=3x^{2}+6x-2} ) وهذا وفقا لتعميم والحل بالطريقة الجديدة قَ(س) = 3س²(دسدص)+6س(دسدص)-2(دسدص) وبما أن دسدص= 1 فإنها لا تؤثر على النتيجة ويكون الجواب النهائي: قَ(س) = 3س²+6س-2

النهايات

إن المبدأ الأساسي لحساب التفاضل وكذلك لحساب التكامل المحدد يعتمد اعتمادا كبيرا على فكرة النهايات ولقد ابتدع كل من إسحاق نيوتن وجوتفريد ليبنتز العلاقة بين التفاضل والتكامل ومن ثم فإليهما يرجع الأساس في اكتشاف علم التفاضل والتكامل وتجدر الإشارة إلى أن جهودهما كانتا منفصلتان كل عن الآخر لذلك فقد ساهم كل منهما مساهمة كبيرة في اكتشاف وتطور هذا العلم.

طريقة الحل

نقوم بالاشتقاق معتمدين على حساب النهايات وفرض متغيرات مختلفة، فمثلًا: كمتغيرات: Δس = س2 – س1 س1 = س2 – Δس س2 = Δس + س1 ونفرض Δس = هـ أو يمكننا فرض س2 = ج ونقوم بدلًا من كتابة ص بكتابة ق(س) أي أن المعادلة النهائية هي: ق(س2) – ق(س1)س2 – س1: س2—->س1
= ق(س + هـ) – ق(س)هـ: هـ—-> صفر
= ق(ج) – ق(س)ج – س: ج—-> س1

مثال

أوجد مشتقة س2 وحسب القانون: ق(س+هـ)-ق(س)هـ: هـ —-> صفر ونعوض في المعادلة س²+2س هـ+هـ²-س²هـ: هـ—->صفر نحل المعادلة س²-س²+هـ(2س+هـ)هـ: هـ—->صفر = هـ(2س+هـ)هـ: هـ—->صفر = 2س+هـ: هـ—->صفر = 2س وفعلا مشتقة س² = 2س وكقاعدة عامة، فإن مشتقة أي كثير حدود درجته أكبر من صفر هي: ق(س) = أسع+ب س(ع-1)+…+ج قَ(س) = (أ×ع)س(ع-1)+(ب(ع-1))س(ع-2)+…+0

المبدأ

يعتمد التفاضل على إيجاد معادلة لإيجاد الميل عند نقطة معينة عن طريق تقليل الفرق بين التغير في قيم س إلى صفر تقريبا وهذا هو الاشتقاق إذ أن قاعدة الميل هي: ΔصΔس ( m
= Δ
y
Δ
x {displaystyle m={Delta y over Delta x}} ) إذن Δس تؤول إلى صفر ( Δ
x
→
0
{displaystyle Delta xrightarrow 0} ) أي أن س2-س1—->صفر (
x 2
− x 1
→
0
{displaystyle x_{2}-x_{1}rightarrow 0} )
أي أن س2—->س1 (
x 2
→ x 1
{displaystyle x_{2}rightarrow x_{1}} ) وبما أن Δس لا تساوي صفر ولكن تقترب منها فإن القيمة لا تصبح غير معرفة ( Δ
x
→
0
{displaystyle Delta xrightarrow 0} ) أي أن Δ ص/Δ س: Δس—->صفر (
Δ
y
Δ
x ⟹
Δ
x
→
0
{displaystyle {Delta y over Delta x}Longrightarrow Delta xrightarrow 0} ) = ص2 – ص1/س2 – س1: س2—->س1 ( ⟹
y 2
− y 1 x 2
− x 1 ⟹ x 2
→ x 1
{displaystyle Longrightarrow {y_{2}-y_{1} over x_{2}-x_{1}}Longrightarrow x_{2}rightarrow x_{1}} ) = ق(س2) – ق(س1)/س2 – س1: س2—->س1 ( ⟹ f
( x 2
)
−
f
( x 1
) x 2
− x 1 ⟹ x 2
→ x 1
{displaystyle Longrightarrow {f(x_{2})-f(x_{1}) over x_{2}-x_{1}}Longrightarrow x_{2}rightarrow x_{1}} ) ومن هنا نستنتج أن الاشتقاق هو ميل مماس نقطة معينة في المنحنى، ونستنتج أيضا أن المماس ليس مارا بنقطة واحدة، وإنما بنقطتين البعد السيني بينهما قريب جدا من الصفر أي أنه يؤول إلى الصفر وتكتب صيغة الإشتقاق كالآتي:
f
′ (
x
)
= d
y
d
x = lim Δ x →
0 f
(
x
+
Δ x )
−
f
(
x
)
Δ x
.
{displaystyle f'(x)={frac {dy}{dx}}=lim _{Delta mathbf {x} to 0}{frac {f(x+Delta mathbf {x} )-f(x)}{Delta mathbf {x} }}.}

الاشتقاق الضمني

هذا الاشتقاق يعمد إلى إيجاد ميول المماسات في الاقترانات التي ليست اقترانات، حيث يعجز الاشتقاق العادي عنها. فتمثيل الاشتقاق يكون ب (دصدس) تمثيلا لكتابة ص بواسطة س، أي أن ص = أسع+وسك+… أي أن قيمة ص تحدد بقيمة س وإذا أخذنا الاشتقاق (دسدص) فإننا وقتها نعتبر قيمة س تتغير وفقا ل ص أي أن س = أصع+وصك+… إذن دصدس تعبر عن ق(س)
وكذلك دسدص يعبر عن ق(ص) ودائما يتغير المتغير الذي في الأعلى ويبقى الذي في الأسفل ثابتا. ..

ملاحظات

إذا كانت دصدس = 1 فليس صحيحا أن دص = دس فهو رمز رياضي يعبر عن الاشتقاق ويعبر عن الميل وعن التعبير عن ص بواسطة س في المعادلة. اشتقاق (رياضيات)

شرح مبسط

تعديل – تعديل مصدري – تعديل ويكي بيانات